Ayuda para resolver otro % integral $\int (2x^2+4x-2)^{-\frac{3}{2}} \ dx$

Question

$$\int (2x^2+4x-2)^{-\frac{3}{2}} \ dx$$

Completar el cuadrado?

$$\int \frac{1}{(2(x+1)^2-4)^\frac{3}{2}} \ dx$$

No está seguro de qué hacer a continuación, o si debo intentar algo más?

Gran ayuda si usted puede mostrar como "paso a paso" posible como usted puede.

Gracias de antemano!

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@Chandru1:

Estoy confundido en lo que sucede a las 2 que se obtiene un factor fuera al completar el cuadrado (la 2 en el denominador), porque se ve como Arturo izquierdo y en su lugar sustituido:

$\int \frac {1}{(2(x+1)^2-4)^\frac{3}{2}} \ dx$

$u = x+1$ $du =dx$

que los cambios de la integral de a $\int \frac {1}{(2(u^2-4))^\frac{3}{2}}$

Sería mejor contar con él como un 1/2 en la parte delantera de la integral o dejarlo en y, a continuación, utilizando la trigonometría. la sustitución de este tipo?

$u= \sqrt{2}sec(t)$ $du = \sqrt{2}sec(t)*tan(t) dt$

El que lo cambia a:

$\int \frac {\sqrt{2}sec(t)*tan(t)}{(2(2sec^2(t)-4))^\frac{3}{2}} \ dt$ = $\int \frac {\sqrt{2}sec(t)*tan(t)}{(2(tan^2(t)))^\frac{3}{2}} \ dt$ = $\int \frac {\sqrt{2}sec(t)*tan(t)}{(2tan^3(t))} \ dt$

Mi $\sqrt{2}$ factores como el tuyo, pero no tengo 1/8 de modo que la figura me factor como una 1/2 anteriores como yo pensaba? Pero la constante en frente de mis integral sería $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e tiene $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Yo sé lo que está mal, sólo que no como me pasó mal.

Answer 1

En primer lugar, el factor de una $2$: $$(2x^2 + 4x - 2) = 2(x^2+2x-1)\quad\text{so}\quad (2x^2+4x-2)^{-3/2} = 2^{-3/2}(x^2+2x-1)^{-3/2}.$$ Ello debido a que puede sacar de la integral y se hará las cosas más fáciles.

Así, hasta una constante, esto es lo mismo que hacer la integral $$\frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{dx}{(x^2+2x-1)^{3/2}}.$$ Completando el cuadrado es un buen primer paso. $x^2+2x-1 = (x^2+2x+1) - 2 = (x+1)^2 - 2$. Así, obtenemos la integral $$\frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{dx}{\bigl( (x+1)^2 - 2\bigr)^{3/2}}.$$ Haciendo un cambio de variable $u=x+1$ cambios que a $$\frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{du}{(u^2-2)^{3/2}}.$$

Ahora trate de una sustitución trigonométrica para deshacerse de ese molesto raíz cuadrada en el exponente. El uso de $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ o $\sec^2\theta - 1 =\tan^2\theta$. Así que establezca $u = \sqrt{2}\sec\theta$ para obtener $$u^2-2 = 2\sec^2\theta - 2 = 2(\sec^2\theta - 1) = 2\tan^2\theta$$ y $du = \sqrt{2}\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, por lo que $$\frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{du}{(u^2-2)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{\sqrt{2}\sec\theta\tan\theta\,d\theta}{(2\tan^2\theta)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}}\int\frac{\sqrt{2}\sec\theta\tan\theta\,d\theta}{2^{3/2}\tan^3\theta}.$$ Ahora el trabajo de la trigonométricas integral.

Answer 2

Puede ver que la expresión en paréntesis puede escribirse como $((x+1)^2-2)$. ¿Vemos una diferencia de cuadrados aquí?

A continuación un sub u se requiere. $U=(x+1)-\sqrt 2$

Rellene los detalles.

Una fracción parcial decomp % será necesario $1/((u+2\sqrt 2)u^2)$.

Y la solución se ha convertido en tan dulce como la tarta de manzana!