Cómo escribir$1-x-x^3+x^4+x^5+x^6-x^7 \cdots$ como una representación de serie de potencia

Question

¿Cómo puedo escribir$1-x-x^3+x^4+x^5+x^6-x^7 ....$ como una representación de serie de potencia (es decir, una fracción ordenada como$\frac{1}{1-x}$)?

Esto se deriva de$\binom{\text{number of partitions of }n}{\text{into an even number of parts}}-\binom{\text{number of partitions of }n}{\text{into an odd number of parts}}$.

He estado reflexionando sobre esto por un tiempo, sin embargo, no puedo pensar en ninguna forma de resolver esto. ¿Algún consejo?

EDITAR: El polinomio con algunos términos adicionales i:$1-x-x^3+x^4+x^5+x^6-x^7+2x^8-2x^9+2x^{10}-2x^{11}+3x^{12}-3x^{13}+3x^{14} ...$

Answer 1

Esto aparece en los oeis , donde se da que la función generadora es$$\prod_{k>0}1-x^{2k-1}=\prod_{k>0}\frac{1}{1+x^k}$ $. También hay muchas referencias allí, recomiendo mucho ese enlace.