actualmente estoy tratando de entender una prueba en Trautman "El Spinorial Tablero de ajedrez", a saber, el teorema 4.2 en la página 48. Estados de los siguientes:
Si $\rho:\mathcal{A}\to\operatorname{End}_\mathbb{C} S$ es un complejo, fieles e irreducible de la representación de un número finito-dimensional, central simple álgebra $\mathbb{R}$ a través de una finito-dimensional complejo espacio vectorial $S$, entonces no es un $\mathbb{C}$-lineal isomorfismo $C:S\to\overline{S}$ entrelazamiento $\rho$ y su complejo conjugado $\overline{\rho}$. Por otra parte, $C$ puede ser elegido de manera que $\overline{C}C=\pm\operatorname{id}_S$.
La prueba es muy sencilla: El complexified álgebra $\mathcal{A}_\mathbb{C}$ también es sencilla y la complexifications $\rho_\mathbb{C}$,$\overline{\rho}_\mathbb{C}$ también son irreductibles. Por lo tanto, $\rho_\mathbb{C}$ $\overline{\rho}_\mathbb{C}$ son equivalentes a través de un $\mathbb{C}$-lineal isomorfismo $C:S\to\overline{S}$ y desde $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}_\mathbb{C}$, está claro que $C$ también se entrelaza $\rho$$\overline{\rho}$. Por otra parte, $\overline{C}C$ se encuentra en el colector de $\rho_\mathbb{C}$ (observar el isomorfismo canónico $S\cong\bar{\bar{S}}$), que es igual a $\mathbb{C}\cdot\operatorname{id}_S$, por Schur del Lexema.
Pero ahora, él asume $\overline{C}C=\lambda\cdot\operatorname{id}_S$ $\lambda\in\mathbb{R}$ (!), y no tengo idea de por qué esto debe ser así. Sospecho que uno debe aprovechar la propiedad de $\mathcal{A}$,$\mathcal{A}_\mathbb{C}$ siendo central, ya que éste no se utiliza en ningún otro lugar en la prueba. Agradecería si alguien tiene alguna sugerencia para mí.
saludos cordiales, Robert Rauch
