Grupos con el mismo número de elementos y subgrupos

Question

Digamos que tengo un grupo finito y te digo cuántos elementos y cuántos subgrupos tiene. ¿Sabe ahora de qué grupo se trata? ¿O es posible que dos grupos que no son isomorfos entre sí tengan la misma cantidad de elementos y subgrupos? En otras palabras, ¿la cantidad de elementos y subgrupos de un grupo lo define completamente? Es interesante porque si te doy sólo la cantidad de elementos hay varias posibilidades y si te doy la cantidad de subgrupos también pero quizás ambas combinadas sean suficientes para definir el grupo.

Answer 1

Ninguna lista finita de inariantes numéricos es suficiente para clasificar grupos finitos hasta el isomorfismo (que se sepa).

Se tabulan los subgrupos de grupos de orden 16 aquí . Obsérvese que los grupos 2 y 4 tienen ambos 15 subgrupos: 3 de orden 2, 6 cíclicos de orden 4, 1 grupo de Klein-4, 3 de tipo $C_4\oplus C_2$ (y el grupo de un elemento, y todo el grupo). Por tanto, no sólo el mismo número de subgrupos, sino el mismo número de cada tipo de subgrupo (propio). Lo mismo para los grupos 5 y 6.