Promedio área proyectada de un elipsoide

Question

Considere la posibilidad de un elipsoide de semi-ejes a, b, c (posiblemente prolato, b=c). Estoy interesado en la "sombra" de este sólido en un lejano plano, en una dirección dada d=(k,l), m) ortogonal a ese plano. Por shadow me refiero a la zona proyectada sobre el plano: cada punto de la superficie del elipsoide se traduce en la misma dirección hasta la intersección con un plano normal a la misma; la sombra es definida por la envolvente de los puntos de intersección.

Primera pregunta: Es la proyección de la curva de una elipse? (y ¿cuál es su ecuación en términos de a,b,c y el vector de dirección d)?

Segunda pregunta: ¿Cuál es el área media de esta sombra cuando la media de todas las orientaciones del elipsoide (o, equivalentemente, el plano de proyección)

Supongo que este problema ha sido resuelto en el pasado; las referencias serían muy bienvenidos.

Gracias,

baptiste

Answer 1

Cuando un elemento de superficie $d\omega$ a un punto de $P$ en espacio de tres se proyecta ortogonalmente en todas las direcciones posibles, a continuación, el promedio de área de la imagen es $\rho\thinspace d\omega$ donde $\rho$ es una constante universal. Para determinar el valor de $\rho$ se argumenta de la siguiente manera: La unidad de la esfera de $S^2$ tiene una superficie de $4\pi$, y el área de su proyección es $2\pi$ en todas las direcciones (tenga en cuenta que la "sombra" es doblemente cubiertos); de donde también el área promedio de la proyección es $2\pi$. Por lo $\rho$ debe ${1\over2}$. Lo que hemos encontrado es válido para cualquier elemento de superficie $d\omega$ de su elipsoide $E$. De ello se deduce que el área promedio de la sombra de la $E$ es igual a $\omega(E)/4$ donde $\omega(E)$ es el área de superficie total de $E$ y hemos tomado en cuenta que la sombra está cubierto dos veces. El valor así obtenido puede ser expresada como una integral elíptica en términos de $a$, $b$, $c$.

Answer 2

Sé que esta pregunta ha sido respondida hace mucho tiempo, pero quería proporcionarle un papel decente (aunque de astrofísica en la naturaleza), ya que lo hace de acuerdo con las proyecciones de tri-axial elipsoides (con arbitraria semi-ejes, y la orientación) sobre un plano. Binggeli et al. 1980.

En resumen: La respuesta a tu primera pregunta es sí. Cantidades constante en elipsoides (por ejemplo, - isodensities (misma masa) o isophotes (misma luz) ) proyecto de elipses.

La percepción de eje proporción (menor a mayor) de su nueva elipse será el siguiente:

$$Q = \sqrt{\frac{j+l - \sqrt{(j-l)^{2}+4k^{2}}}{j+l+\sqrt{(j-l)^{2}+4k^{2}}}} $$

donde j,k y l son geométricas de las funciones depende de la instrinsic eje proporciones y ángulos de orientación con respecto a la línea de visión de su elipsoide. $$j = q^{2}\sin^{2}\theta+p^{2}\sin^{2}\phi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\phi\cos^{2}\theta $$ $$l = p^{2}\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi $$ $$k=(1-p^{2})\sin\phi\cos\phi\cos\theta $$

Mucha de la transcripción aquí - me volvería a verificar esta en el papel. p es el intermedio-a-eje mayor proporción, q es la menor de edad-a-eje mayor proporción, y theta y phi definir el observador de la orientación relativa al sistema de coordenadas intrínseco del elipsoide (es decir, el sistema de coordenadas se alinean a lo largo de los semi-ejes).

Algunas otras notas para evitar la confusión con la notación: 1) Prolato esferoides decir p=q, y 2) esferoides Oblatos media p=1, q menos de p en valor.

Lo sentimos que este es un poco más de la física y de las matemáticas-y. Entiendo que esto es una matemática de intercambio de la pila sitio. Espero que esto ayude!