Confundido sobre la terminología y el significado de la Hipercohomología

Question

verifique lo siguiente: Dado un haz complejo de $F^\bullet$, digamos que yo quiero para el cálculo de la hypercohomology de este complejo, si tenemos en cuenta la bicomplex de poleas

$C^\bullet(F^\bullet) = (C^p(F^q))\quad (p,q\in\mathbb{Z})$,

donde $C^\bullet(F^q)$ es el Godement resolución de la gavilla $F^q$. El hypercohomology de $F^\bullet$ es el cohomology de la compleja

$K^\bullet(X) = tot(C^\bullet(F^\bullet)(X))$.

Si utilizamos espectral de secuencias para el cálculo de la hypercohomology tengo dos espectral de secuencias, echemos un vistazo a la primera espectral de la secuencia {$'E^{p,q}_r$}, esta secuencia converge a la final de plazo $'E^{p,q}_\infty$ derecho?

Este término es al mismo tiempo

$'E^{p,q}_\infty = Gr^p_C \: \mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)) = C^{p+1}(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))/C^p(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))$

a la derecha? Esto es comúnmente expresado como

$'E^{p,q}_2 = H^p(X,H^q(F^\bullet)) \Rightarrow \mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X))$,

y la segunda espectral de la secuencia {$''E^{p,q}_r$} también converge a este. Ok mis preguntas ahora son:

1 - Algunos autores simplemente decir que estas espectral de secuencias de converger a la hypercohomology $\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X))$, ¿por qué dicen que si el espectral secuencias convergen claramente a $Gr^p_F \: \mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)) = C^{p+1}(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))/C^p(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))$? O donde estoy equivocado?

2 - digamos que tengo correctamente calculado TODOS los términos en los dos espectral de secuencias, ¿qué voy a ganar a partir de la obtención de $Gr^p_F \: \mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)) = C^{p+1}(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))/C^p(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))$? Lo que me dice?, como lo si $Gr^p_F \: \mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)) = 0$ algunos $p$, e $q$? ¿Qué puedo obtener de saber que $C^{p+1}(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))/C^p(\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X)))$$0$? ¿Cómo puedo utilizar para calcular $\mathbb{H}^{p + q}(K^\bullet(X))$, que es realmente lo que estoy buscando? Sé que es tonto y estoy perdiendo algo, pero no lo veo, ¿alguien puede por favor ayudarme a entender esto, gracias.

Answer 1

1. La gente generalmente se dice que una secuencia espectral "converge" a algo, incluso a pesar de que en general sólo se ofrece a los asociados clasificados de objetos de la real (filtrado) cosa que usted está después.

2. Con éxito de ejecutar una secuencia espectral proporciona la información que usted desea "hasta la extensión de los problemas". El ejemplo más básico de una extensión problema es que si dices que después de una $R$-módulo de $M$, y he de deciros que hay una secuencia exacta $0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \rightarrow 0$, y te digo lo $M'$$M''$. Hay una bella teoría de la prórroga de los problemas: El conjunto de clases de isomorfismo de tales extensiones $0 \rightarrow M' \rightarrow ? \rightarrow M'' \rightarrow 0$ formar un grupo de $\mbox{Ext}^1_R(M'',M')$, las extensiones de $M''$$M'$. El elemento de identidad está dada por la extensión trivial $M=M' \oplus M''$. Cuando este grupo se pierde, entonces usted sabe que esta es la única posibilidad. Por ejemplo, este grupo se desvanece al $R$ es un campo: a continuación, $R$- los módulos son sólo espacios vectoriales, y estos son completamente clasifican por su dimensión (y se puede comprobar fácilmente que debe ser ese $\dim(M')+\dim(M'')=\dim(M)$).

Usted puede leer la página de la wikipedia sobre el "Ext functor" para averiguar cómo se calcula. Tal vez esto ayude a saber que es lo que se llama derivada functor de $\mbox{Hom}$.