Demostrando que $\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\ge uv$ bajo la condición $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Question

El siguiente es un problema (6.10) de los principios del análisis matemático de Rudin.

Dejemos que $p$ y $q$ sean números reales positivos tales que $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$ Demostrar que si $u\ge 0$ y $v\ge 0$ entonces $$uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$$

Puedo demostrarlo utilizando Media aritmética ponderada Desigualdad de la media geométrica y también utilizando La desigualdad de Jensen en logaritmo natural (se suele utilizar para demostrar el AM-GM generalizado).

Me gustaría ver métodos elementales alternativos (preferiblemente evitando los métodos de cálculo multivariante) para resolver esto (creo que Rudin no ha introducido la convexidad antes de esto; así que el AM-GM generalizado es una trampa).

Answer 1

Una idea: Supongamos que $p > 1$ y escribir la relación $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ de la siguiente manera: $(p-1)(q-1) = 1 $ . Poner $x = t^{p-1}$ . Por lo tanto, $t = x^{q-1}$ . el caso cuando $u,v$ son $0$ es una trivialidad. Por lo tanto, supongamos $u > 0 $ y $v > 0$ . Considere en el $xt-$ plano el rectángulo proporcionado por las líneas $x = v$ y $t = u.$ Dibuja e imagina un espectáculo que

$$ uv \leq \int\limits_0^v t^{p-1} dt + \int\limits_0^u x^{q-1} dx $$

El lado derecho es obviamente $$\frac{ v^p}{p} + \frac{u^q}{q}$$

Answer 2

En primer lugar, Rudin nunca hace trampas. Antes de Al estudiar su libro, debes haber estudiado cálculo básico, por lo que la convexidad por medio de las derivadas secondo debería ser ya conocida.

De todos modos, y sugerido en un comentario de Alex H., una forma estándar de demostrar esta desigualdad es mostrar que $$ \frac{v^q}{q} = \max_{u \geq 0} \left( uv - \frac{u^p}{p} \right), $$ utilizando el cálculo estándar. Teóricamente, estás calculando la tranformación de Fenchel de $u \mapsto u^p/p$ , que es una poderosa herramienta de Análisis Convexo.

Este enfoque se sugiere en los ejercicios del libro de Michel Willem Análisis funcional publicado por Birkhäuser.

Como comentario, deberíamos estar de acuerdo en que esto es un desigualdad de convexidad como se puede leer en el libro de Willem: esto significa que es un caso particular de una desigualdad general sobre funciones convexas. Es difícilmente creíble que se pueda demostrar sin ninguna referencia explícita o implícita a la idea de convexidad.