Encontrar todos los números primos $p$ tal que %#% $ de #% donde $$(p-1)!=p^k-1.$ es un número natural.
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user321878
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esta es una muy conocida:
para$p=2$, $2^k-1=1$ da $k=1$.
para$p=3$,$3^k-1=2$, lo que también da $k=1$.
para$p=5$, $5^k-1=4!=24$ da $k=2$.
Para $p>5$:
tenga en cuenta que $p-1|(p-2)!$ por cada prime $p>5$. Por qué? Debido a $p-1=2\frac{p-1}{2}$, y dado que el $2$, e $\frac{p-1}{2}$ son menores de $p-2$, no es igual a los otros, y que el segundo es un entero (es decir, $p$ es impar), podemos encontrar dos de ellos en $(p-2)!$ expansión.
Si $2 \geq p-2$ $p \leq 4$ $p=2$ o $3$, contradicción. Del mismo modo, si $\frac{p-1}{2}=p-2$ $p=3$ e al$\frac{p-1}{2}=p-2$$p=5$, tanto contradiciendo $p>5$. También,$p$ es que incluso desde $p>5>2$.
Por lo tanto, $(p-1)^2|(p-1)!$$(p-1)^2|p^k-1=(p-1)(1+p+ \ldots +p^{k-1})$.
Por lo tanto, $p-1|1+p+ \ldots +p^{k-1} \equiv 1+1+ \ldots +1 \equiv k \pmod{p-1}$.
Por lo tanto, $p-1|k$.
Esto le da a $p^{p-1}-1| \leq p^k-1=(p-1)!$ que después de algunos rutina de da $p=2$.
De hecho, después de la sustitución, $(2,1),(3,1),(5,2)$ son la única solución pares.
