La suma de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\epsilon_n}{n!}$ es un número irracional

Question

Que ${\epsilon_n}$ ser una secuencia donde $\epsilon_n$ es o $ 1$ o $-1$. Cómo podría mostrar
que la suma de la serie

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\epsilon_n}{n!}$$

es un irracional número.

Answer 1

Si existen $p\in\mathbb{Z}$ y $q\in\mathbb{N}$, que $\frac{p}{q}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\epsilonn}{n!}$, entonces el $q!\cdot\sum{n=q+1}^\infty\frac{\epsilonn}{n!}$ debe ser un número entero. Sin embargo, $$|q!\cdot\sum{n=q+1}^\infty\frac{\epsilonn}{n!}-\frac{\epsilon{q+1}}{q+1}|\le\sum_{n=q+2}\frac{q!}{n!}

Answer 2

Es la prueba por contradicción. Definir: $$ S = \sum_{k \ge 0} \frac{\epsilon_k}{n!} $$ Suponga $S$ es racional, es decir, hay $u \in \mathbb{Z}$, $v \in \mathbb{N}$ tal que $S = u / v$.

Pick $b > v$, por lo que el $b \ge 2$. A continuación, $b! S$ es un número entero, es decir: $$ S = \sum_{0 \le k \le b} \frac{b! \epsilon_k}{k!} + \sum_{k > b} \frac{b! \epsilon_k}{k!} $$ La primera suma es un número entero, por lo que la segunda suma tiene que ser un número entero. Ahora: $$ \frac{b! \epsilon_k}{k!} = \frac{\epsilon_k}{(b + 1) (b + 2) \ldots k} $$ Pero: $$ \frac{1}{(b + 1) (b + 2) \ldots k} < \frac{1}{b^{k - b}} $$ Por la desigualdad triangular: $$ \left\rvert \sum_{k \ge b + 1} \frac{b! \epsilon_k}{k!} \right\rvert \le \sum_{k \ge b + 1} \frac{b!}{k!} < \sum_{k \ge b + 1} b^{-k} = b^{- b - 1} \sum_{k \ge 0} b^{-k} = b^{- b - 1} \frac{1}{1 - 1 / b} = \frac{1}{b^{b +1} (b - 1)} < \frac{1}{b^{b + 1}} $$ Así: $$ 1 = \left\lvert \frac{b! \epsilon_b}{b!} \right\rvert > \left\rvert \sum_{k \ge b + 1} \frac{b! \epsilon_k}{k!} \right\rvert $$ y los "restos suma" nunca puede ser 0, por lo que no es un entero.