Integral sobre conjuntos Julia llenos

Question

Definición de la iteración habitual del conjunto cuadrático de Julia $f_c(z)=z^2+c$ para los complejos $c$ y su $n$ La tercera iteración $f^n_c(z)=f_c(f_c(\cdots f_c(z)\cdots))$ se puede definir una función de 4 variables $$c_{x,y,z,w}=\begin{cases} 1 & f_{x+iy}^\infty(z+iw)\text{ exists} \\ 0 & f_{x+iy}^\infty(z+iw)\text{ diverges} \end{cases}.$$ Trazado $c_{x,y,z,w}$ en función de $(x,y)$ para un valor determinado de $(z,w)$ produce imágenes del conjunto Julia cuadrático lleno, como ésta:

Del mismo modo, podemos trazar sobre las transposiciones de las 4 variables. Esto es lo que ocurre cuando trazamos sobre las dos últimas variables (la primera imagen tiene las variables 1 y 2 cerca de cero, y la segunda tiene las variables 1 y 2 siendo distintas de cero):

El primero se parece al conjunto de Mandelbrot, y el segundo se parece a lo que sería si el matemático tuviera hambre y decidiera darle un gran mordisco.

Y aquí hay un ejemplo de cómo se ve cuando trazamos sobre las variables 2 y 4:

Así que (visualmente, al menos) parece que los conjuntos de Julia y Mandelbrot rellenos son sólo cortes a través de un sólido de 4 dimensiones, tomados en diferentes ángulos.

Ahora vamos a realizar algunas proyecciones. Definir

$$I_{34}(z,w)=\iint c_{x,y,z,w}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

como la proyección del sólido a lo largo de las coordenadas 3 y 4. Usando un acelerador de GPU, pude hacer un gráfico de $I_{34}$ :

Esto sugiere que el área del conjunto de Julia rellenado trazado en función de $c$ se parece a un conjunto de Mandelbrot, un hecho que también reproducido aquí utilizando una técnica ligeramente diferente.

• Pregunta 1: ¿Existe una función que describa $I_{34}$ en forma cerrada?

Posible respuesta: En esta pregunta una forma implícita para el área de un conjunto de Julia lleno en función de $c$ se da como una expansión en serie. Así que creo que la ecuación de lhf $A=\pi (1 - |a_2|^2 - 3|a_4|^2 - 5|a_6|^2 - \cdots)$ corresponde a $I_{34}$ .

• Pregunta 2: Definir $g_c(z)=z^2+c/z$ podemos definir de forma similar una función

$$d_{x,y,z,w}=\begin{cases} 1 & g_{x+iy}^\infty(z+iw)\text{ exists} \\ 0 & g_{x+iy}^\infty(z+iw)\text{ diverges} \end{cases}.$$

Integrando numéricamente sobre las variables 3 y 4 se obtiene esto:

¿Qué es esto?

EDITAR : Aparentemente soy un retrasado mental; hubo un error en mi código, y la imagen anterior es un error (aunque de aspecto interesante). Esto es lo que la proyección de $d_{x,y,z,w}$ en las coordenadas 3 y 4 realmente parece:

Aquí tienes una versión más grande (haz clic con el botón derecho del ratón y ábrela en una nueva ventana para obtener el tamaño completo):

Answer 1

En primer lugar, creo que tienes un par de puntos de confusión menores en tus definiciones. Específicamente, creo que tienes los roles de $x+iy$ y $z+iw$ invertido. Además, no está claro qué " $f_c^{\infty}(z)$ existe" significa. En la mayoría de los contextos, asumiría que significa $\lim_{n\rightarrow\infty}f_c^n(z)$ existe pero sospecho que se refiere a que la órbita $f_c^n(z)$ está acotado.

Suponiendo que mis interpretaciones sean correctas, entonces todas sus observaciones pueden explicarse si consideramos cuidadosamente la construcción de los conjuntos Julia cuadráticos y el conjunto de Mandelbrot. Si definimos $f_c(z)=z^2+c$ Entonces:

• Para un fijo $c\in\mathbb C$ El conjunto de Julia relleno se compone de todos los $z\in\mathbb C$ tal que la órbita de $z$ bajo la iteración de $f_c$ permanece acotado.

• El conjunto de Mandelbrot está formado por todos los $c\in\mathbb C$ tal que la órbita de cero permanece acotada bajo la iteración de $f_c$ .

En ambos casos, se puede demostrar que, si la órbita supera alguna vez el valor absoluto de dos, entonces la órbita diverge hasta el infinito.

Ahora definimos $$ \chi(c,z) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ if the orbit of } f_c^n(z) \text{ remains bounded} \\ 0 & \text{ if the orbit of } f_c^n(z) \text{ diverges to } \infty. \end{array}\right. $$

Ahora se deduce inmediatamente de las definiciones que $z$ está en el conjunto Julia lleno de $f_c$ si $\chi(c,z)=1$ . Así que, si arreglas $c$ y generar una matriz binaria en $\chi(c,x+iy)$ entonces se genera exactamente el conjunto Julia de $f_c$ .

Del mismo modo, un punto $c$ está en el conjunto de Mandelbrot si $\chi(c,0)=1$ que explica sus imágenes del conjunto de Mandelbrot. Tenga en cuenta que el $0$ no es arbitraria. El objetivo del conjunto de Mandelbrot es ayudarnos a clasificar los conjuntos de Julia y esa clasificación se basa en la órbita del punto crítico de la función que, para $f_c$ es siempre cero. Ahora, si cambiamos el cero por algún punto cercano $z_0$ para examinar $\chi(c,z_0)$ Entonces supongo que generas algo cercano al conjunto de Mandelbrot pero no necesariamente algo muy esclarecedor. Esto explica su conjunto de Mandelbrot con una "mordida".

En cuanto a tus integrales, por supuesto están calculando el área de los objetos asociados. Si fijas $c$ e integrar $\chi(c,z)$ en $z$ entonces se calcula el área del conjunto Julia de $f_c$ . Esto se ha estudiado bastante bien y se sabe que no tiene una forma cerrada. Por supuesto, el área de un conjunto de Julia lleno es cero cuando $c$ está fuera del conjunto de Mandelbrot y es positivo cuando $c$ está en uno de los componentes hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot. Esto explica por qué se ve una imagen del conjunto de Mandelbrot cuando se traza $$\iint \chi(c,x+iy) \, dA$$ en función de $c$ .

Por último, su $g_c(z)=z^2+c/z$ es potencialmente muy interesante, pero probablemente requiere un análisis mucho más cuidadoso. Ya no se trata de polinomios, sino de funciones racionales más generales, y para obtener resultados realmente interesantes, habría que tratar adecuadamente el punto en el infinito y analizar los puntos críticos de $g_c$ de los cuales hay tres. La noción de conjunto de Julia "lleno" no tiene realmente sentido en este contexto, pero la noción de conjunto de Julia como cierre del conjunto de puntos periódicos repelentes tiene perfecto sentido. Aquí hay algunas imágenes de conjuntos de Julia de esta familia generados por el programa de Mathematica JuliaSetPlot que es nuevo en la V10: