¿Se utilizó alguna vez esta función aritmética de Möbius/Mangoldt para algo?

Question

Definición: Dejemos que $n=\prod_k p_k^{c_k}$ con $p_k \in \mathbb P$ y $$ A(n)=\sum_{d|n} \mu(d)\Lambda(d)=\sum \log p_k^{1-\delta_{0,c_k}} , $$

con el Función Möbius $\mu(n)$ que es:

• $(n) = \pm 1$ si $n$ es un entero positivo libre de cuadrados con un número par/impar de factores primos.
• $(n) = 0$ si $n$ tiene un factor primo al cuadrado.

Y el Función von Mangoldt $(n)$ definido como $$ \Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} $$

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Propiedades de $A(n)$ :

• $A(\cdot)$ básicamente toma todos los números $n$ a una suma de logaritmos de factores primos, Por ejemplo $$ A(12)=A(2^23)=\log 2 + \log 3=A(6);\\ A(4)=A(2)=\log 2. $$

• La función aritmética es aditivo ya que $A(nm)=A(n)+A(m)$ sólo para los coprimas $n$ et $m$ , Por ejemplo $$ \log 2 + \log 3=A(6)=A(2\cdot 3) = A(2)+A(3)= \log 2 + \log 3 $$

• Puede aplicar el Inversión de Möbius a ella. Lo tendrás: $$ \mu(n)\Lambda(n)=\sum_{d|n} \mu(d) A(n/d), $$ Por ejemplo (donde sólo escribo términos con $\mu(d)\neq 0$ ) $$0=\mu(12)\Lambda(12)=\mu(6)A(2)+\mu(3)A(4)+\mu(2)A(6)+\mu(1)A(12)\\ =\log 2-\log 2-(\log 2+\log 3)+(\log 2+\log 3)=0$$

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Era la función aritmética aditiva $A(n)$ ¿Alguna vez se usó en algún contexto?

Answer 1

Dado el tono poco explicativo de muchas exposiciones de la teoría de números, es, de hecho, razonable hacer esta pregunta, creo... en la medida en que hay una buena explicación, aparte de la artificiosa.

Es decir, la fórmula explícita de Riemann, tal y como la reformuló un poco von Mangoldt, es una igualdad exacta (no meramente asintótica) de una suma sobre primos y una suma sobre ceros de la función zeta. La suma sobre primos, en el mejor de los casos, no es exactamente $\sum_p 1$ sino, quizás de forma más sencilla y natural, una suma de $\log p$ sobre las primeras potencias $p^m$ . Es decir, el "lado izquierdo" es $\sum_{m,p:p^m<T}\log p$ . Es decir, un lado es una suma sobre potencias primos bajo un límite dado, y el peso del conteo es $\log p$ . Este es un artefacto inmediato y transparente del complejo análisis que extrae la igualdad. No se requiere imaginación ... más allá de la profunda visión para hacer la cosa en absoluto ... :)

La comprensible confusión surge tanto de las secuelas inexplicables que presuponen que uno conoce el contexto, como de las obras derivadas de imitación que toman lo que se encuentra en los libros y los periódicos y se burlan irreflexivamente de ello.

Por lo tanto, la respuesta corta es que hay son razones de peso para la aparición de este esquema de ponderación. Seguro que no es lo que pediría el programa más ingenuo/ideal, pero de alguna manera es la respuesta perfectamente correcta. La cuestión más ingenua de "contar primos" está de alguna manera mal planteada... en el sentido de que hay que pasar del enunciado claro (con SR o no...) de la fórmula explícita a afirmaciones más confusas sobre la formulación ingenua-pero-incómoda.

Claro, podríamos decir que la respuesta más sofisticada esquiva la pregunta original. O podríamos decir que la pregunta original estaba en cierto modo condenada, porque no podía admitir una respuesta tan sencilla como esperábamos, mientras que la pregunta más complicada permitía una buena respuesta.

Answer 2

Cito de aquí :

Dejemos que $\mathrm{rad}(n)$ denotan el radical de un número entero $n$ que es el producto de los números primos distintos que dividen a n. O de forma equivalente, $$\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p.$$ Supongamos que $\mathrm{rad}(1)=1$ para que $\mathrm{rad}(n)$ es multiplicativo.

Así que $$A(n)=\log\mathrm{rad}(n) \;\text{ or }\; \mathrm{rad}(n)=\exp{\left(\sum_{d|n} \mu(d)\Lambda(d)\right)}.$$ Entonces Wiki:Radical de un entero afirma que:

Una de las aplicaciones más llamativas de la noción de radical se da en la conjetura "abc", que afirma que, para cualquier $ > 0$ existe un número finito de $K_$ tal que, para todos los triples de enteros positivos coprimos $a, b,$ et $c $ satisfaciendo $a + b = c$ , $$ c < K_\varepsilon\, \operatorname{rad}(abc)^{1 + \varepsilon} $$ Además, se puede demostrar que los elementos nilpotentes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ son todos los múltiplos de $\operatorname{rad}(n)$ .

Más referencias en OEIS:A007947 ...