Mostrando que se cierra una secuencia creciente de estructuras L ilimitada

Question

Me fue dada la siguiente declaración para demostrar como un ejercicio, pero estoy en una pérdida en cuanto a cómo proceder.

Deje $\kappa$ ser un incontable regular el cardenal, y $L$ ser una contables idioma. Supongamos $(M_\alpha : \alpha < \kappa)$ es una creciente y continua (es decir, $M_\gamma = \bigcup_{\alpha < \gamma} M_\alpha$ para el límite de los números ordinales $\gamma$) de la secuencia de $L$-estructuras, y deje $M = \bigcup_{\alpha < \kappa} M_\alpha$. Mostrar que $S = \{ \alpha \in \kappa : M_\alpha \prec M \}$ es un cerrados no acotados (club) set.

He aquí lo que tengo hasta ahora para el cierre de la prueba.

Tome $A \subseteq S$ y deje $\gamma = \lim A$. Queremos mostrar que $\gamma \in S$. Desde $\kappa$ es regular, sabemos que $\gamma < \kappa$, por lo que sólo tenemos que ver que $M_\gamma \prec M$. Para ello, vamos a comprobar la Tarski-Vaught criterio. Tomar una arbitraria $L$-fórmula $\phi$ y supongamos que existe $a \in M$ tal que $M \models \phi(a)$. Ahora tenemos que encontrar la $b \in M_\gamma$ tal que $M_\gamma \models \phi(b)$. Tenga en cuenta que $a \in M = \bigcup_{\alpha < \kappa} M_\alpha$ implica que el $a \in M_\alpha$ algunos $\alpha$. Ahora tenemos que demostrar que $\alpha \in A$ a satisfacer las Tarski-Vaught criterio.

No es claro para mí cómo $\alpha$, posiblemente, puede ser en $A$ en general.

Para el ilimitado, no estoy nada seguro de cómo empezar.

Gracias de antemano.

Answer 1

EDICIÓN: Alex Kruckman señaló una falta hipótesis en su problema. Sin embargo, tenga en cuenta que la hipótesis no es necesaria para lo que he escrito a continuación (el "cerrado" que forman parte del club)! Independientemente de los tamaños de las $M_\alpha$s, el conjunto de índices de primaria subestructuras siempre será cerrado (aunque puede estar vacío).

Quiere mostrar que $M_\gamma\prec M$. Para ello, haremos uso de Tarski-Vaught, que establece:

Supongamos $N\subseteq M$, y para cada fórmula $\varphi(x)$ con parámetros en $N$ si $M\models \exists x\varphi(x)$ alguna $n\in N$ tenemos $M\models\varphi(n)$. A continuación,$N\preccurlyeq M$.

Así que supongamos $\varphi$ fueron de dicha fórmula. La fórmula $\varphi$ utiliza un número finito de parámetros de $M_\gamma$ $\gamma$ es un límite elemento de $S$, así que podemos encontrar algunos $\beta<\gamma$, $\beta\in S$ de tal manera que cada parámetro en $\varphi$$M_\beta$.

Ahora desde $M_\beta\prec M$, hay algunos $b\in M_\beta$ tal que $M\models\varphi(b)$. Pero $M_\beta\subseteq M_\gamma$, lo $b\in M_\gamma$.

Answer 2

Noé respuesta ha discutido cómo probar closedness. Para el ilimitado, usted va a querer imitar a la prueba de (hacia abajo) Lowenheim-Skolem: basta con mostrar que para un conjunto ilimitado de $\alpha$, $M_\alpha$ es cerrado bajo un conjunto de funciones de Skolem para $M$. Aquí tendrás que usar el hecho de que el lenguaje es contable (así que solo tiene countably muchas funciones de Skolem) y el hecho de que $\kappa$ es regular y el incontable, y usted tendrá que asumir que $|M_\alpha|<\kappa$ todos los $\alpha$ como se ha señalado por Alex Kruckman comentarios.