Deje que la asignación$T:\ell^{2}\rightarrow \ell^{2}$ se defina como sigue. $$T(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)=(x_1,\dfrac{1}{2}x_2,\ldots,\dfrac{1}{n}x_n,\ldots)$ $ En este caso, me he ganado fácilmente:$$\sigma(T)=\{0\}\cup\{\dfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ $ Ahora, si$\lambda=x+iy\in\mathbb{C}$ y$\lambda\notin\sigma(T)$, probaría$$\Vert(\lambda I-T)^{-1}\Vert=\dfrac{1}{\displaystyle\inf_{n\in\mathbb{N}}\,\left\vert\lambda-\dfrac{1}{n}\right\vert}$ $ ¿me pueden ayudar? para comenzar de probar? Gracias.
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Usted tiene $$ (\lambda)(x_1,x_2,\ldots)=((\lambda-1)x_1, (\lambda\frac12)de x_2,\ldots). $$ Definir un operador $S $ por $$S (x_1,x_2,\ldots)=(\frac{x_1} {\lambda -1},\frac {x_2}{\lambda -\frac12},\ldots). $$ By the choice of $\lambda $ the linear operator $S $ is well-defined and bounded: by construction, $S (\lambda)=(\lambda)S=I $. So $S=(\lambda es)^{-1} $ (bounded, because $\lambda\no\en\sigma (T) $. And $$\tag{1}\|S\|=\sup\left\{\frac1 {\left|\lambda-\frac1n\right|}:\ n\in\mathbb N\right\}=\frac1 {\inf\left\{\left|\lambda-\frac1n\right |:\ n\in\mathbb N\right\}}. $$
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La única pieza de la izquierda colgando, para justificar la primera igualdad en $(1)$, es para demostrar que si $$ R (x_1,x_2,\ldots)=(r_1x_1,r_2x_2,\ldots) $$ then $\|R\|=\sup\{|r_n|:\ n\} $. This follows, if we write $c=\sup\{|r_n|:\ n\} $: $$ \|Rx\|^2=\sum_j|r_jx_j|^2\leq c^2\sum_j|x_j|^2=c^2\,\|x\|^2, $$ por lo $\|R\|\leq c$. Deje $j$ tal que $|r_j|>r-\frac1j$. Si $e_j\in\ell^2$ es la secuencia con un $1$ $j^{\rm th}$ posición y ceros en otros lugares, a continuación, $\|e_j\|=1$ y $$ \|Re_j\|=|r_j|>r-\frac1j. $$ So $\|R\|=c=\sup\{|r_n|:\ n\}$.
