Deje $U$ ser un no-vacío de dominio en el plano complejo $\mathbb C$.
Pregunta: ¿cuál es la ecuación diferencial de la geodesics de la métrica $$m=\varphi(x,y) (dx^2+dy^2)$$ where $\varphi$ is a positive function on $U$ y donde $x,y$ son los habituales euclidiana coordenadas en $\mathbb C\simeq \mathbb R^2$
Sin duda, una respuesta se puede encontrar en muchos de los clásicos libros de texto.
Pero estoy interesado en el (más sencillo) caso al $\varphi=\lvert f(z)\lvert^2$ donde $f$ es un holomorphic función de $z=x+iy$. Y no lo he encontrado en la literatura clásica de una simple ecuación diferencial de la caracterización de geodesics para la métrica de la forma $$m= \lvert f(z) dz\lvert^2.$$
¿Alguien sabe la respuesta o una buena referencia?
Muchas gracias de antemano.
