¿Por qué no hay un número finito de números primos?

Question

¿Cómo puedo demostrar que hay un número infinito de números primos? Intento demostrarlo por contradicción pero no es concluyente. ¿Algún idea?

Answer 1

Esto es algo que Euclides demostró hace siglos. Pero, para defender el honor de un matemático fallecido, algunas personas hoy argumentarán que su prueba es constructiva, no por contradicción. En cualquier caso, espero que al menos te resulte convincente.

Supongamos que el conjunto de números primos es finito, y conoces todos ellos. Por ejemplo, 2, 5, 11, 17. Dado que el conjunto es finito, puedes multiplicar sus elementos y sumar 1 para obtener otro número, 1871, en este ejemplo. Este otro número no es divisible por ninguno de los primos conocidos, pero debe ser o bien primo en sí mismo o ser divisible por un primo que no esté en nuestra lista.

Resulta que 1871 es primo. Así que modificamos nuestra lista de primos: 2, 5, 11, 17, 1871. Podemos multiplicarlos nuevamente y sumar 1 otra vez, obteniendo 3498771, que es compuesto pero divisible por primos que aún no están en nuestra lista: 3, 1033, 1129. Así que modificamos nuestra lista de primos una vez más, y así sucesivamente.

Esto significa que cada vez que asumes que un conjunto particular de números primos es el conjunto de todos los números primos, puedes usar ese conjunto para obtener al menos otro número primo que no esté en tu lista.

Más comúnmente, las personas utilizan el conjunto de los primeros $ n $ primos, y multiplicándolos obtienen lo que se llaman "primoriales": 2, 6, 30, 210, 2310, etc. Al agregar 1 a esos obtienes: 3, 7, 31, 211, 2311, etc., algunos de los cuales son primos, otros son compuestos pero no divisibles por primos encontrados anteriormente.

Answer 2

Si el número de primos es finito, existe un primo más grande, llamémosle $p$. Pero entonces, el número $p!+1>p$ no es divisble por ningún primo y es... primo.

(Si $p!+1$ pudiera factorizarse, los factores tendrían que ser mayores que $p$ y serían compuestos. Por descenso infinito, deben tener un factor primo que divida... $p!+1$.)

Answer 3

Tal vez necesitas tener primero demostrado el teorema fundamental de la aritmética.

Para todo entero $n$ tal que $n > 1$, $n$ puede ser expresado como el producto de uno o más números primos, de forma única independientemente del orden en que aparezcan.

Si hay un número finito de números primos, eso significa que cada número compuesto es un producto de uno o más de esos números primos (con o sin repetición).

Aquí es donde entra la clásica demostración. El Ratón Pérez la inventó milenios antes que Euclides, pero los humanos prefieren darle el crédito a Euclides. Creo que también hubo un matemático chino que llegó a lo mismo un siglo o dos antes que Euclides.

Multiplica todos los (finitos) números primos juntos $p_1 p_2 \ldots p_k$ ($k$ es el número total de primos que crees que existen) y llama a este producto $P$. ¿Entonces cuál es la factorización de $P + 1$? En cada instancia de dividir $P + 1$ entre uno de los primos $p_i$ encontrarás que deja un residuo de $1$, es decir, $P + 1 \equiv 1 \pmod{p_i}$.

Luego, o bien $P + 1$ es algún otro primo que no está en tu lista finita de primos, y es mayor que todos ellos, o bien es el producto de primos que no están en tu lista, los cuales pueden ser mayores o no que los primos en tu lista. Actualiza tu lista de primos y también actualiza $k$ para reflejar la lista ampliada.

Puedes seguir haciendo esto durante el tiempo que desees, o que puedas, y siempre encontrarás al menos un nuevo primo en cada iteración del proceso.

Sin embargo, dadas las limitaciones de tu cerebro humano, y también de tus computadoras, podrías llegar a un punto en el que no puedas determinar si $P + 1$ es primo o el producto de primos que no están en tu lista. Sin embargo, ten la seguridad de que si lograras superar ese obstáculo, tendrías que ampliar tu lista de primos y actualizar $k$ en consecuencia.