¿Cuáles son los elementos de $k[X,Y]/(X^2-Y^3)$ como?

Question

¿Cuáles son los elementos en $k[X,Y]/(X^2-Y^3)$, en donde $k$ es un campo?

Por ejemplo, en $k[X]/(x^2+2x+3)$, todos los elementos son de un grado inferior a $2$. Pero no puedo entender la multi-variable de caso.

Mi primera suposición era que podíamos tratar a $Y$ como una constante y asegurar que todos los elementos de a $k[X,Y]/(X^2-Y^3)$ tuvo su grado de $X$ menos de $2$. $Y$ obviamente podría entonces tener cualquier grado.

Pero, de nuevo, podríamos hacer también asegurarse de que todos los elementos que tenía a su grado de $Y$ menos de $3$, dejando $X$ tomar cualquier grado.

Tener dos representaciones para los elementos de $k[X,Y]/(X^2-Y^3)$ suena un poco falsos para mí.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

No hay nada espurias aquí, y ambas representaciones de los elementos están perfectamente bien. En general, la elección de una base para los elementos de una $k$-álgebra dependerá de algunas opciones arbitrarias.

Por ejemplo, una forma estándar de la elección de una base es la técnica de las bases de Gröbner, de la que depende (en tu ejemplo) en una de las opciones de la orden de la monomials de $k[X, Y]$. Hay diferentes opciones, que dan diferentes bases. Y de hecho, las dos representaciones se dan pueden ser considerados como provenientes de dos diferentes bases de Gröbner de su ejemplo.

Answer 2

Usted puede pensar de $k[x,y]/(x^2 - y^3)$ como el sub-anillo $k[t^2,t^3]$ dentro $k[t]$. Deje $k[x,y] \mapsto k[t]$$x \mapsto t^3$$y \mapsto t^2$, y, más generalmente,$f(x,y) \mapsto f(t^3,t^2)$. Esta sustitución mapa es una $k$-álgebra homomorphism y su imagen es claramente $k[t^2,t^3]$. Comprobar que el kernel es precisamente el múltiplos de $x^2 - y^3$$k[x,y]$, por lo que obtener el deseado $k$-álgebra homomorphism.

Nota: $k[t^2,t^3]$ es estrictamente menor que $k[t]$, ya que no contiene $t$. El anillo de $k[t^2,t^3]$$k + t^2k[t]$: todos los polinomios en la $k[t]$ lineal con coeficiente igual a $0$.