¿Qué restricciones de expansiones decimales llevan a infinitos numerable subconjuntos de los reales?

Question

Considere la posibilidad de los números reales $S : x \in [0,1]$ cuyo decimal expansiones $x = 0.d_1 d_2 d_3 \ldots$. Ahora instituto de diversas exclusiones, se enumeran a continuación. Estoy interesado / a en aprender de los principios generales que me va a permitir a la conclusión de que $S_X$ es contable o incontable.

1. $S_{!5}$: La representación decimal excluye todas las $5$'s.
2. $S_{5^{\textrm{th}}}$: En la representación decimal, cada $5^{\textrm{th}}$ dígito es $5$.
3. $S_{\textrm{odd}}$: La representación decimal excluye todos los dígitos: $0,2,4,6,8$.
4. $S_{01}$: La representación decimal excluye todo, pero los dos dígitos: $0$$1$.
5. $S_{1}$: La representación decimal utiliza (después de la $0.$) sólo el dígito $1$: $0.1, 0.11, 0.111, \ldots$.
6. $S_{\ge}$: La representación decimal es no decreciente: los sucesivos dígitos son iguales o más grandes. E. g., $.1144456777777788999\ldots$.
7. $S_{k\pm}$: La representación decimal $k$-oscila: La secuencia consta de $k$ o más dígitos (no estrictamente) creciente, seguido por una secuencia de $k$ o más dígitos que (no estrictamente) disminuye, y así sucesivamente. E. g., para $k=5$, $0.11339 \; 966432 \; 567777 \; \ldots$.
8. $S_{\textrm{max/min}}$: La representación decimal es finitely oscilatorio: sólo hay un número finito de dígitos de los mínimos y máximos en la secuencia de dígitos.

Quizás cada caso debe ser tratado por separado? Estoy particularmente interesado en difícil, en el límite de los casos que no son tan sencillo de resolver, que podría ser utilizado como buen estudiante de ejercicios para distinguir contables de incontable.

Answer 1

Como regla general, si el conjunto es tal que, dado un número $x \in S$ puede cambiar un número infinito de dígitos a la vez y de forma independiente, que va a ser incontable - de lo contrario, no lo será. Por ejemplo, $S_{\mathrm{odd}}$ es incontable, porque, a partir de con $x = 0.1111\ldots$ I puede sustituir a cualquier combinación de $1$s $3$s y todavía obtener un número en $S_{\mathrm{odd}}$. Por otro lado, $S_1$ es sólo contables; dado cualquier $x \in S_1$, la única manera en que puedo cambiar un número infinito de dígitos está cambiando todos ellos a $1$.

La idea clave es, básicamente, la reducción de todo a $S_{01}$. $S_{01}$ es incontable por una razón muy sencilla: cualquier número expresado utilizando sólo ceros y unos, puede ser interpretado como un binario de expansión de restricción real. Así que cada real entre el $0$ $1$ "muestra" en $S_{01}$. Como usted puede encontrar una manera de pensar en su conjunto como $S_{01}$, tienes algo incontable.

Para tomar un ejemplo extremo: decir $S_{56}$ es el conjunto de los infinitos decimales que consiste enteramente de $5$s, excepto para cada $10000$th dígitos, que puede ser un $5$ o $6$. Podemos pensar en esto como "básicamente" $S_{01}$ (1) haciendo caso omiso de todos los obligados dígitos, y (2) donde nos da a elegir entre $5$$6$, el tratamiento de una $5$$0$$6$$1$. Así, por ejemplo, podemos ver $0.555\ldots 555\mathbf{6}555\ldots 555\mathbf{5}555\ldots 555\mathbf{6}555\ldots$ como la cadena binaria $0.101\ldots$. Por lo $S_{56}$ también es incontable.

Answer 2

No saben que yo llamaría un principio general, pero la mayoría de estos seguir a partir de la reasignación de el conjunto restringido a los reales, tal vez en otra base.

1. $S_{!5}$: La representación decimal excluye todas las $5$'s.

Decremento todos los dígitos de más de $5$, entonces el conjunto se convierte en la representación de la totalidad de la $[0,1]$ base $9$, lo incontable.

2. $S_{5^{\textrm{th}}}$: En la representación decimal, cada $5^{\textrm{th}}$ dígito es $5$.

Cada gota $5^{th}$ dígitos, entonces el conjunto se convierte en la representación decimal de toda la $[0,1]$, lo incontable.

3. $S_{\textrm{odd}}$: La representación decimal excluye todos los dígitos: $0,2,4,6,8$.

Reasignación de la $5$ resto de los dígitos $1,3,5,7,9$$0,1,2,3,4$, entonces el conjunto se convierte en la representación de la totalidad de la $[0,1]$ base $5$, lo incontable.

4. $S_{01}$: La representación decimal excluye todo, pero los dos dígitos: $0$$1$.

Que da la representación de la totalidad de la $[0,1]$ base $2$, lo incontable.

5. $S_{1}$: La representación decimal utiliza (después de la $0.$) sólo el dígito $1$: $0.1, 0.11, 0.111, \ldots$.

Esto puede ser indexado por el número de dígitos decimales, por lo tanto contables.

6. $S_{\ge}$: La representación decimal es no decreciente: los sucesivos dígitos son iguales o más grandes. E. g., $.1144456777777788999\ldots$.

La secuencia de dígitos que se convertirá en constante eventualmente, por lo tanto contables.

7. $S_{k\pm}$: La representación decimal $k$-oscila: La secuencia consta de $k$ o más dígitos (no estrictamente) creciente, seguido por una secuencia de $k$ o más dígitos que (no estrictamente) disminuye, y así sucesivamente. E. g., para $k=5$, $0.11339 \; 966432 \; 567777 \; \ldots$.

Cada gota otro grupo de $k$ dígitos, y truncar el resto de la primera $k$ dígitos, que deja a los grupos de exactamente $k$ el aumento de dígitos decimales. Considere la posibilidad de cada grupo como un dígito en algunos de base de todo el aumento de las secuencias de $k$ dígitos decimales. Entonces el conjunto se convierte en la representación de la totalidad de la $[0,1]$ en la base, por lo incontable.

8. $S_{\textrm{max/min}}$: La representación decimal es finitely oscilatorio: sólo hay un número finito de dígitos de los mínimos y máximos en la secuencia de dígitos.

La secuencia de dígitos que se convertirá en constante eventualmente, por lo tanto contables.

---

[ EDITAR ] Numerado los puntos para mantenerse en sincronía con el OP, y hecho un pequeño cambio a #7 que había (mal), que se lea como exactamente $k$ dígitos.