Prueba de que si $f:S^{n} \to \mathbb{R} $ es continua, entonces no es inyectiva

Question

Tengo que demostrar que si $f:S^{n} \to \mathbb{R} $ (donde $S^{n}= \{(x_1, ..., x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1} | x_1^2+...+x_{n+1}^2=1\} $ es continua, entonces no es inyectiva. Si es posible, me gustaría ser comprobada mediante el uso de la conectividad de los argumentos.

Mi intento: supongamos $f$ es inyectiva. Deje $p\in f(S^n)$ y, desde $f$ es inyectiva, existe sólo una $q\in S^n$ tal que $f(q)=p$. Consideramos ahora $f_{|S^n \setminus\{q\}}:{S^n \setminus\{q\}} \to f(S^n\setminus\{q\})=f(S^n)\setminus\{p\} $, que es continuo y bijective (debido a $f$ fue continua e inyectiva). Entonces, desde el ${S^n \setminus\{q\}}$ es la ruta de acceso conectados e $f$ es continua y exhaustiva, tenemos que $f(S^n)\setminus\{p\}$ es el camino-conectados. Aquí me gustaría usar ese $\mathbb{R}\setminus \{p\}$ no es trayectoria-conectado y llegar a una contradicción, pero esto es incorrecto.

Answer 1

Un enfoque diferente. Debido a $S^n$ es compacto y $f$ es continua, se llega a un máximo y un valor mínimo. Deje que los ser$M$$m$. De modo que existe puntos de $A,B\in S^n$ tal que $f(A)=M, f(B)=m$. En $S^n$ hay dos distintos caminos, decir $\gamma_1$$\gamma_2$, $A$ $B$($S^1$ encuentras yendo alrededor del círculo en direcciones opuestas, con $n>1$ hay mucho más espacio para moverse).

Pero, por la continuidad, $f$ va a tomar todos los valores en el intervalo de $[m,M]$ tanto $\gamma_1$$\gamma_2$.

Answer 2

$S^n$ Es compacto, si $f$ era inyectiva, sería un Homeomorfismo en $f(S^n)$. Pero $S^n$ es compacta y conectado y los únicos subconjuntos de $\mathbb R$ que son compactan y conectado son los lo intervalos $[a,b]$. Sin embargo, si elimina un punto de la mitad de este intervalo, se llega a ser desconectado. Ningún punto de $S^n$ tiene esa propiedad.

Answer 3

$g(x) = f(x)-f(-x).$ Basta para mostrar en algún $g=0$ $S^n.$ para hacer esto, tome cualquier $x_0\in S^n.$ si $g(x_0)=0,$ hemos terminado de definir. Si no, entonces el o $g(x_0) > 0$ o $g(x_0) 0.$ entonces %#% así toma valores positivos y negativos en $g(-x_0) = -g(x_0)