Propiedades de la tabla de multiplicar de$\mathbb{Z}_m$

Question

Para que $m$ hacer todo ocurrencia de 1 mentira en la diagonal de la tabla de multiplicación de $\mathbb{Z}_m$?

Yo era pensar que tengo de probar y encontrar todos los $m$$1,2,3,4,6,8,12$$24$. pero después de un tiempo, hay un error en mi probar.

supongamos $m>10$ $<10$ parte es demasiado simple primera $m$ no puede ser impar, o $(2,m)=1$ y existe x tal que $2x\equiv1\mod{m}$, lo $x\ne2$ $m>10$ y esto va en contra de la 1 de la mentira en la diagonal.

si $(3,m)=1$,$3^2\equiv1\pmod{m}$, $m\mid8$ imposible también. por lo $3\mid m$.

si $(5,m)=1$, utilizando la misma estrategia, $m|24$, $m>10$ compruebe $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_{24}$ es una solución. tan sólo hemos de considerar $5\mid m$.

También he verificado $7\mid m$, por lo que $m=210\cdot Q$, $Q\in\mathbb{N}$.

entonces, si $x\in\mathbb{N}$$x<\sqrt{m}$$x^2<m$, lo $x^2\not\equiv1\pmod{m}$....

entonces, ¿cómo seguir...

Answer 1

Usted quiere encontrar el $m$ tal que $a^2\equiv1\bmod{m}$ todos los $a$$\gcd(a,m)=1$.

En términos de la teoría de grupo, desea $U(m)$, el grupo de unidades de mod $m$, para tener exponente en la mayoría de las $2$.

Por el teorema del resto Chino, $U(m)$ es el producto de $U(p^e)$ donde $p^e \mid\mid m$.

Por lo tanto, $U(m)$ ha exponente en la mayoría de las $2$ fib $U(p^e)$ ha exponente en la mayoría de las $2$.

Para $p=2$, esto significa $e \le 3$.

Para $p$ impar, esto significa $p=3$$e=1$.

Por lo tanto, $m=2^a 3^b$$0 \le a \le 3$$0 \le b \le 1$.

Recopilación de todas las posibilidades, a continuación, conduce a $m \in \{ 1,2,3,4,6,8,12,24 \}$.