Instantones, anomalías y efectos de 1 bucle

Question

Una simetría es anómala cuando la medida integral de la trayectoria no la respeta. Una de las formas en que esto se manifiesta es en la incapacidad de regularizar ciertos diagramas que contienen bucles de fermiones de forma compatible con la simetría. En concreto, parece que el efecto está completamente determinado por el estudio de los diagramas de 1 bucle. ¿Puede alguien dar una explicación heurística de por qué es así? ¿Y hay una derivación más rigurosa que "simplemente no puedo encontrar ninguna forma buena de regularizar esta cosa"?

Un enfoque alternativo, debido a Fujikawa, consiste en estudiar la integral de trayectoria de los fermiones en un fondo de instantones. Entonces se ve que los modos cero no están equilibrados con respecto a su transformación bajo las simetrías, lo que lleva a una transformación anómala de la medida bajo esta simetría. Específicamente, la violación es proporcional al número de instantones, y así se encuentra que la no conservación de la corriente es proporcional a la densidad de instantones. Esto también se encuentra por el método perturbativo anterior.

Mi pregunta, que es un poco heurística, es ¿cómo es que el efecto parece perturbador (y exacto a 1 bucle) por un lado, y sin embargo está relacionado con los instantones, que son no perturbadores, por otro?

Answer 1

Todas estas son buenas preguntas. Quizá pueda responder a algunas de ellas a la vez. La ecuación que describe la violación de la conservación de la corriente es

$$\partial^\mu j_\mu=f(g)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$$

donde $f(g)$ es una función de la constante de acoplamiento $g$ . No es posible escribir otra respuesta candidata por análisis dimensional y por paridad (asumiendo que la corriente es la corriente axial ordinaria...)

Ahora integramos ambos lados sobre $\int d^4x$ y encontramos en el lado izquierdo $\Delta Q$ , lo que significa que, ahora que la corriente es violada, la carga puede cambiar mientras el sistema evoluciona, mientras que el lado derecho es $$f(g)\int d^4x \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$$

El objeto del lado derecho es una invariante topológica conocida del haz de galgas, y es un número entero (si todas las cargas están adecuadamente cuantizadas). Así que en el lado izquierdo obtenemos $\Delta Q$ que debe ser un número entero (si todas las partículas fundamentales llevan carga entera) y el lado derecho también es un número entero, hasta la función $f(g)$ .

Esto significa que la función $f(g)$ no puede, de hecho, depender de $g$ . (Más precisamente, hay un esquema en el que no lo hace.) Por lo tanto, es exacta en un bucle. Esta es la prueba moderna (sin ningún cálculo) del teorema de ABJ sobre la exactitud de la anomalía en un bucle.

Así que ves la profunda conexión entre un bucle y los instantones... La violación de la ecuación de conservación se produce en una espira, pero para que se produzcan consecuencias interesantes necesitamos tener un haz de galgas no trivial.

Sobre algunos de los otros comentarios que has hecho: CUALQUIER esquema de regularización que respete la simetría de Bose llevará a la anomalía, es totalmente inevitable. Esto se demuestra en http://inspirehep.net/record/154341?ln=en .

Otro comentario: las anomalías también pueden surgir de los bucles de bosones, por ejemplo, la anomalía de la traza. (No es exacta de un bucle en ningún sentido que yo conozca).