Matemática discreta - Teoría de conjuntos - Diferencia simétrica: Prueba para un número dado.

Question

No encuentro nada sobre este tema en ningún otro sitio. Me gustaría saber qué palabras clave/sitios debería utilizar para encontrar lo que estoy buscando si esto es demasiado elemental de una pregunta. (he estado usando matemáticas discretas, teoría de conjuntos, pruebas, diferencia simétrica, para un número dado).

Dados los conjuntos A y B,

la diferencia simétrica A B se define por A B = ( A - B ) ( B - A ) = ( A B ) - ( A B ).

dejemos que X = {1,2,3, ...271}

a) AP(X), BP(X), 271 AB. Demuestra que es verdadero o falso.

Así que lo que entiendo es lo siguiente con lo que creo que puede ser mi error entre paréntesis.

"AP(X)" Para cualquier conjunto A posible, será un miembro del conjunto de potencias de X.

( Así que veo A como todos los posibles P(X), de lo contrario se escribiría "AP(X)" ¿no? )

"BP(X)" Existe un conjunto B, que es miembro del conjunto de potencias de X.

( Veo B como un único conjunto posible de P(X). )

"271 A B" 271 es un miembro de la diferencia simétrica entre A y B.

( Entonces, "cuando se comparan todos los conjuntos posibles de P(x) con un conjunto específico de P(X), el resultado sería "271 AB" cada vez". )

Creo que es falso.
Porque independientemente de que el conjunto B tenga o no tenga 271, va a haber un posible conjunto A que también tenga o no tenga 271.

A menos que separes A en subconjuntos de "tiene 271" y "no tiene 271", entonces sería verdadero para la mitad, y falso para la otra mitad.

Pero no entiendo cómo poner mi respuesta (si es que es correcta) en forma escrita.

Estoy haciendo varias preguntas pero creo que si consigo averiguar cómo se hace esto, puedo hacer el resto.

Answer 1

El orden de los cuantificadores es importante. El enunciado tal y como lo has interpretado se escribiría

$$(\exists B\in P(X))(\forall A\in P(X))(271\in A\Delta B).$$

Es decir, existe un fijo set $B$ tal que para cada conjunto $A$ tenemos $271\in A\Delta B$ . En otras palabras, primero se arregla $B$ entonces hay que cotejarla con todas las $A$ . Pero la declaración tal como está escrita es

$$(\forall A\in P(X))(\exists B\in P(X))(271\in A\Delta B).$$

Es decir, para cada conjunto $A$ existe un conjunto $B$ ( posiblemente dependiendo de $A$ ) tal que $271\in A\Delta B$ . En otras palabras, $A$ puede elegirse arbitrariamente, pero no es necesario elegir un $B$ - sólo hay que idear una regla que, dada una $A$ selecciona un $B$ .

Si esa distinción tiene sentido, entonces espero que pueda ver por qué la afirmación, tal como está escrita, es cierta.

Answer 2

Esto es en parte una cuestión de cuantificadores: Usted está tratando de demostrar "Para todo A, existe un B tal que ...".

A partir de la definición de $A \Delta B$ , debe ser capaz de demostrar que

$B = (A \Delta B) \Delta A$

Así que para cualquier $A$ , usted es libre de elegir un $A \Delta B$ que contiene $271$ (o cualquier elemento, o elementos, que usted elija), y el correspondiente $B$ está garantizada su existencia.

Answer 3

Si 271 pertenece a A ,sea B el conjunto vacío.Si 271 no pertenece a A, sea B=X.