Una gavilla muy amplia en una ampliación

Question

Supongamos que se quiere demostrar que un $1$ -El esquema integral propio de una dimensión sobre un campo algebraicamente cerrado es proyectivo. Este es un paso para que Hartshorne demuestre que cualquier $1$ -(sobre un campo algebraicamente cerrado) es proyectivo.

El método consiste en que, en primer lugar, hay que tener en cuenta que la normalización es no singular y, por tanto, proyectiva. Consideremos $f: \tilde{X}\to X$ y que $\mathcal{L}$ sea una gavilla muy amplia en $\tilde{X}$ . El objetivo es demostrar que existe un divisor efectivo $D=\sum P_i$ tal que $\mathcal{L}(D)\simeq \mathcal{L}$ y tal que cada $f(P_i)$ son puntos no singulares.

El resto de la prueba se deduce del hecho de que simplemente existe algún conjunto muy amplio con esa propiedad, pero el ejercicio parece implicar que cualquier conjunto muy amplio satisface esta propiedad.

Creo que se me escapa algo muy obvio, pero toma una curva adecuada sobre $k$ , digamos que $C$ que tiene una sola singularidad. Haz estallar esa singularidad, $\pi: \tilde{C}\to C$ , esta es la normalización. Tome un punto $P\in \tilde{C}$ tal que $\pi(P)$ es la singularidad. Me parece que $D=P$ es un divisor efectivo, por lo que $\mathcal{L}(D)$ es una gavilla invertible. Si lo anterior es correcto, entonces $\mathcal{L}(D)$ no puede ser muy amplio. ¿Alguien tiene una razón sencilla para esto?

Answer 1

Una gavilla invertible muy amplia $\mathcal L(D)$ se caracteriza por la existencia de una incrustación $\tilde{C} \hookrightarrow \mathbb P^n$ para que $D$ es la intersección de $\tilde{C}$ con un hiperplano $H$ en $\mathbb P^n$ . Si un hiperplano interseca $\tilde{C}$ en el punto $P$ con multiplicidad uno, entonces $\tilde{C}$ tiene que ser una curva de grado uno en $\mathbb P^n$ , es decir, una línea. Así, $\tilde{C}$ debe tener género cero. Por tanto, todos los puntos de $\tilde{C}$ deben ser linealmente equivalentes, por lo que en este caso $\mathcal L(P) = \mathcal L(P')$ para cualquier punto $P'$ en $\tilde{C}$ (para decir lo mismo de otra manera, tenemos que $\tilde{C} = \mathbb P^1$ y que $\mathcal L(D) = \mathcal O(1)$ en este $\mathbb P^1$ ). En particular, podemos tomar $P'$ para ser un punto cuya imagen en $C$ es no singular.

Otra forma de formular el argumento, que evita este análisis teórico preciso de la intersección, es decir que si $\mathcal L$ es muy amplio en $\tilde{C}$ entonces proviene de una incrustación $\tilde{C} \hookrightarrow \mathbb P^n$ tirando hacia atrás $\mathcal O(1)$ y por lo tanto es de la forma $\mathcal L(D)$ para cualquier intersección de $\tilde{C}$ con un hiperplano en $\mathbb P^n$ . Pero siempre podemos elegir este hiperplano de forma que su intersección con $\tilde{C}$ falla en cualquier conjunto finito de puntos. Así que siempre podemos elegir este hiperplano de manera que $D$ se compone únicamente de puntos cuyas imágenes en $C$ son no singulares, que es lo que queremos.

En general, cuando se piensa en lo que significa muy amplio, se quiere relacionarlo con la correspondiente incrustación proyectiva, y luego utilizar hechos geométricos sobre las intersecciones de hiperplanos. (Principalmente: que hay un montón de hiperplanos (!), por lo que se puede esperar obtener un gran control sobre el $D := \tilde{C} \cap H$ para el que su muy amplio invertible es igual a $\mathcal L(D)$ . Aunque no es relevante en este caso, porque sólo se está trabajando con curvas, una herramienta típica que se podría aplicar para entender las posibles $D$ es el teorema de Bertini).

Answer 2

Fíjate que en tu 2º párrafo dices que el objetivo es demostrar que "hay un divisor efectivo $D=\sum P_i$ tal que $\mathcal{L}(D)\simeq \mathcal{L}$ y tal que cada $f(P_i)$ son puntos no singulares", pero en tu 4º párrafo estás eligiendo un punto no singular y preguntando si hay un divisor efectivo con un soporte específico.

Las dos cosas tienen cuantificadores en lugares diferentes. ¡En particular, la afirmación de tu 2º párrafo no dice que puedas elegir el soporte del divisor como quieras!