Probar si este número es o no principal

Question

¿Es el número de 2438100000001 principal o compuesto?

Por favor primero dar una sugerencia si ya sabes el answer.thanks!

Answer 1

Pista 1: Observe que $243$ y $81$ son poderes de $3$, por lo que el número con el % de forma $$3^5\cdot10^{10}+3^4\cdot10^8+1$$

Pista 2: $x^5+x^4+1$ es reducible.

Sugerencia 3: $x^5+x^4+1=(x^5+x^4+x^3)+(1-x^3)$.

Answer 2

[Ya adivinó la respuesta, así que aunque esto es más que una sugerencia, espero que no le voy a dar nada.]

Si usted nota los poderes de $3$ ocultación ( $243$ $81$ ), se puede pensar que volver a escribir este gran número de $$2438100000001=3^5\cdot10^{10}+3^4\cdot10^8+1.$$ Then you might write $$2438100000001=300^5+300^4+1.$$ You might not see how to factor this, but you can look for a pattern for factoring similar expressions with smaller numbers than $300$.

$$\begin{align} &1^5+1^4+1& =\quad&3& =\quad&\color{blue}3\cdot 1\\ &2^5+2^4+1& =\quad&49& =\quad&\color{blue}7\cdot 7\\ &3^5+3^4+1& =\quad&325& =\quad&\color{blue}{13}\cdot 25\\ &4^5+4^4+1& =\quad&1281& =\quad&\color{blue}{21}\cdot 61\\ &5^5+5^4+1& =\quad&3751& =\quad&\color{blue}{31}\cdot 341\\ &\cdots\\ &300^5+300^4+1& =\quad& 2438100000001& =\quad& ?\cdot ?\\ \end{align}$$

Observe que si usted sucede factor de estos números de la forma en que te voy a mostrar, las diferencias entre el primer factores forman una progresión aritmética. El primero de los factores se $\color{blue}3, \color{blue}3+\color{red}4=\color{blue}7, \color{blue}7+\color{red}6=\color{blue}{13}, \color{blue}{13}+\color{red}8=\color{blue}{21}, \color{blue}{21}+\color{red}{10}=\color{blue}{31},\dots$ (tienes Que jugar con el factorizations a ver esto - el factor escribí primero no es siempre el menor factor primo, o incluso un primo, así que tienes que jugar.)

Cuando una secuencia de números tiene diferencias que son una sucesión aritmética, no hay una fórmula para que la secuencia utilizando múltiplos de $n^2$, $n$, y constantes. Si usted lo sabía, que se nota que la secuencia de $(3,7,13,21,31,\dots)$$(1^2+2,2^2+3,3^2+4,4^2+5, 5^2+6,\dots)$, y se puede adivinar que $90301=300^2+301$ es un factor de su número original.

Y estaría en lo correcto.

En algo menos de tiempo, usted podría tratar de factores primos y encontrar $73$, pero encontrar el factor de $90301$ ( $73\cdot1237$ ) por la mano es más interesante!

Answer 3

Responder a la pregunta: $2438100000001$ es un número compuesto.

$2438100000001 = 73 \dot\ 829 \dot\ 1237 \dot \ 32569$

Answer 4

Sugerencia: Multiplicar 1025473 por 2377537. Ninguno de estos dos números es primo, pero usted debe ser fácilmente capaz de factor de ellas con la ayuda de la calculadora científica y una lista de los pequeños números primos.

EDIT: Usted dijo

Primero, por favor, dar una sugerencia, si usted ya sabe la respuesta.

Eso es exactamente lo que estoy haciendo mostrando que 2438100000001 es divisible por los números, excepto el 1 y sí mismo. Yo ya sé la respuesta, ya que este número, como prohibir como se puede ver, es bastante pequeño en comparación con los números de los equipos son rutinariamente factoring en estos días. Si usted no tiene Mathematica, trate de poner esta pregunta a Wolfram Alpha: "factor de 2438100000001." Con una conexión decente a Internet, debe darle la respuesta después de una corta espera.