En el contexto de supertasks, la gente y los matemáticos están cómodos con la idea de ordinal transfinito tiempo, es decir, que el tiempo puede ser dividido en un arbitrariamente alto número de pasos. En la mayoría de los casos el número de pasos que se limita a ser $\omega$, pero algunos modelos, como Hamkins tiempo infinito máquinas de Turing, se supone que una cantidad finita de tiempo puede ser dividido en un número de pasos de forma arbitraria de alta cardinalidad. Yo creo que se puede extender de forma segura el concepto de tiempo en el espacio (en realidad la pregunta es la misma, sólo que pienso que muchas personas encontrarán que es más fácil identificar el espacio con la recta real). Entonces, la pregunta original: La línea real ha $2^{\aleph_0}$ (que supongo que es en la mayoría de las $\aleph_2$) puntos. Pero si podemos partición en un número de intervalos de la forma arbitraria de alta cardinalidad, no el número (o conjunto) de los puntos en los que al menos tiene la misma cardinalidad? (o puede tener más intervalos de puntos?). Obviamente estoy confundido. Por favor ayuda!!
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Hamkins de la construcción de la realidad no asumir "supongamos que una cantidad finita de tiempo puede ser dividido en un número de pasos de forma arbitraria de alta cardinalidad". Es simplemente propone la utilización de un arbitrario ordinal (de cualquier cardinalidad) como el tiempo de coordenadas de la máquina de Turing computación e investiga las consecuencias de tal decisión. No depende de la plena ordinal indexado eje de tiempo que corresponden a "una cantidad finita de tiempo", o a un subconjunto de a $\mathbb R$.
De hecho, el Teorema 1.1 del artículo que el enlace dice que incluso si nosotros no suponga un particular cardinalidad del eje de tiempo, es imposible que la máquina para detener después de más de contables pasos. Así que, esencialmente, la posibilidad de un uncountably largo de cálculo que permite la definición para permitir a un argumento que no es un caso interesante, todo lo que realmente necesita para tener en cuenta es los cálculos que terminar en menos de $\omega_1$ del tiempo.
Ahora es bien sabido que cada ordinal por debajo de $\omega_1$ puede ser incorporado no sólo en el real intervalo de $[0,1]$, sino que incluso puede ser embebido en los racionales entre $0$$1$. Por otro lado, $\omega_1$ sí no es el fin-isomorfo a un subconjunto de los $\mathbb R$.
En la otra mano, que no importa (al menos si nos restringimos nuestra atención a lo finito de entrada cintas-que, sin embargo, es un gran si), porque sólo hay countably muchos diferentes máquinas de Turing, por lo que desde $\omega_1$ es regular el cardenal, habrá algunas contables ordinal antes de que cada terminación de la computación se ha terminado. Y que el límite superior puede ser embebido en $\mathbb Q\cap[0,1]$.
Como filosófica comentario a tu pregunta, la recta real, es simplemente una (bastante buena) modelo matemático de la física en el tiempo. Puede corresponder o no a la física real de tiempo, y no parece haber ninguna razón en particular para insistir en que el hipotético, no físico, "filosófica" que el "supertask" es un concepto que evoca debe ser limitada a las cosas que pueden ser modelados por la línea real. ¿Por qué no el largo de la línea, por ejemplo?
Primero de todo, la línea real puede ser de tamaño $\aleph_2$, pero también del tamaño de la $\aleph_{5223435}$, e incluso el $\aleph_{\omega_1}$. Todos estos son consistente con ZFC, y a menos que usted asuma que algo adicional que no se puede demostrar mucho acerca de la cardinalidad del continuo.
En segundo lugar, estás en lo correcto. Suponiendo que el axioma de elección de un conjunto no puede ser dividido en una estrictamente mayor número de piezas. Eso significa que si $\Bbb R$ tiene cardinalidad $\aleph_2$, entonces cada partición debe tener el tamaño de en la mayoría de las $\aleph_2$. Sin embargo, tenga en cuenta que hay $\aleph_3$ muchos ordinales de cardinalidad $\aleph_2$.
$2^{\aleph_0}$ puede ser casi cualquier cosa, no se limita a $\aleph_2$. Como no se puede dividir la línea en más de $2^{\aleph_0}$ segmentos, el hecho de que $|2^{\aleph_0} \times 2^{\aleph_0}|=|2^{\aleph_0}|$ significa que usted no tiene problemas con puntos más que intervalos. Es lo que $2^{\aleph_0}$, $\mathbb R^n$ tiene ese número de puntos, también.
