Contando ceros de funciones paramétricas.

Question

Hoy estaba tratando de hacer este ejercicio:

Encontrar para que $\lambda \in \mathbb{R}$ $$x+x^2=\arctan(\lambda x+x^2)$$ tiene exactamente una solución.

Mi intento: Vamos a definir $f(x)=x+x^2-\arctan(\lambda x + x^2)$. La búsqueda de soluciones de la ecuación es equivalente a encontrar los ceros de esta función. Tomamos nota de que $f(x)$ está acotado abajo por una constante $-M$ como sus límites son tanto $+\infty$ $x \to \pm \infty$ y es una función continua.

Vamos a tratar de estudiar su derivado: $$f'(x)=\frac{2x^5+(4\lambda+1)x^4+(2\lambda+2\lambda^2)x^3+\lambda^2x^2+1-\lambda}{1+(\lambda x+x^2)^2}$$

tan claramente su signo depende sólo en el numerador de la cual es un polinomio de grado $5$$x$. Antes de continuar debemos notar que hay principalmente 4 casos a considerar:

$$\lambda>1, \quad \lambda=1, \quad \lambda=0, \quad \lambda < 1 \wedge \lambda \neq 0;$$

El problema es que yo no sé realmente cómo estudiar el signo de la derivada como es difícil estudiar el numerador signo. Traté de evitar estudiar el signo del numerador por señalar que si abordamos el problema de otra manera, al comparar las dos funciones de $g(x)=x+x^2$ $h(x)=\arctan(\lambda x+x^2)$ nos damos cuenta de que $h(x)$ sólo tiene un mínimo global en $x= -\frac{\lambda}{2}$$g(0)=h(0)=0$, por lo que claramente debemos prestar atención (especialmente en el caso de $\lambda=1$) en los que la función es más grande que el otro. Ahora estoy atascado y no sé cómo proceder más. Cualquier sugerencia o ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Buena pregunta y la exploración. Su dirección es correcta. Deje $f(x)=x+x^2-\arctan(\lambda x + x^2)$, entonces la derivada es

$$f'(x)=\frac{2x^5+(4\lambda+1)x^4+(2\lambda+2\lambda^2)x^3+\lambda^2x^2+1-\lambda}{1+(\lambda x+x^2)^2}$$

El punto clave es el estudio del comportamiento de $f(x)$ $f'(x)$ pequeña $x$ y de un gran $x$.

En $x = 0$, $f(x) = 0$. Como $x\rightarrow \pm \infty$, $f(x)\rightarrow +\infty$.

Para las pequeñas $x$, y el numerador de este derivado es $g(x) = O(x^2)+1-\lambda$. Para un gran $x$, el numerador es $g(x) = O(x^5)$.

Por lo tanto, si $\lambda>1$, $g(x)<0$ algunos $\delta>0$$|x|<\delta$, lo que implica que $f(x)<f(0)=0$$x\in (0,\delta)$. Pero sabemos que, finalmente,$f(x)\rightarrow+\infty$$x\rightarrow +\infty$, así también por la continuidad de $f(x)$, existe un punto de $x_0\in [\delta,+\infty)$ tal que $f(x_0) = 0$. Por lo $\lambda\leq 1$.

Del mismo modo, si $\lambda<1$, $g(x)>0$ algunos $\delta>0$$|x|<\delta$, lo que implica que $f(x)<f(0)=0$$x\in (-\delta,0)$. Pero sabemos que, finalmente,$f(x)\rightarrow+\infty$$x\rightarrow -\infty$, así también por la continuidad de $f(x)$, existe un punto de $x_0\in (-\infty,-\delta]$ tal que $f(x_0) = 0$. Por lo $\lambda\geq 1$.

En conclusión, tenemos $\lambda = 1$, y sólo en este caso puede $f(x)$ tiene un solo cero $x=0$.