En mi libro de texto, la "continuidad desde arriba" de una medida se expresa como la siguiente.
$μ(A_k )→μ(A)$ si $μ(A_k )<+∞$ algunos $k$$A_k↘A$, luego
La siguiente es la prueba proporcionada por el libro de texto.
Sin pérdida de generalidad, suponemos $μ(A_1 )<+∞$. A continuación, $μ(A_k )<+∞$ todos los $k$.
$A_1=A+(A_1-A_2 )+(A_2-A_3 )+⋯$ donde $A,A_1-A_2,A_2-A_3,…$ son disjuntas. Está claro que $A_1-A_2,A_2-A_3,…$ son disjuntas. $A$ y ninguna de $A_1-A_2,A_2-A_3,…$ son distintos debido a $A⊆A_k ∀k$, lo $x∈A⇒x∉A_k-A_{k+1}$ desde $x$ es miembro de $A_k$$A_{k+1}$.
Ahora $μ(A_1 )=μ(A)+μ(A_1-A_2 )+μ(A_2-A_3 )+μ(A_3-A_4 )+⋯=μ(A)+μ(A_1 )-μ(A_2)+μ(A_2 )-μ(A_3)+μ(A_3 )-μ(A_4)+⋯$
Los términos en el medio puede cancelar, por lo tanto,$μ(A_1 )=μ(A)+μ(A_1 )-\lim_{k→∞}μ(A_k)$, lo $μ(A)=\lim_{k→∞}μ(A_k)$.
El libro de texto, a continuación, explica que $μ(A_k )<+∞$ es necesario, por ejemplo, $A_k$ ser el complemento de la bola con centro en 0 y radio de $k = 1,2,3,...$, entonces cada bola tiene medida de Lebesgue $+\infty$ y, por tanto,$\lim_{k→∞}μ(A_k)=+\infty$, pero $A_k↘\emptyset$ y la medida de un conjunto vacío es cero.
Tengo un problema con la prueba. Parece perfectamente bien para mí, incluso si todos los $μ(A_k )=+∞$. No estoy seguro de lo que está mal con la prueba al $μ(A_k )=+∞$ todos los $k$.
No estoy seguro, pero mi pensamiento es que las cosas como $-\mu(A_2)+\mu(A_2)$ todavía parece ser $0$ incluso si $μ(A_2 )=+∞$, por lo que las condiciones en el medio cancelar?
Y luego todavía podemos llegar a $μ(A_1 )=μ(A)+μ(A_1 )-\lim_{k→∞}μ(A_k)$?
Y luego el lado izquierdo $\mu(A_1)$ todavía puede cancelar el lado derecho $\mu(A_1)$?
Espero que alguien pueda ayudar. Gracias!
