El área de un círculo es la suma de la circunferencia de las capas de una cebolla. Si n es el radio de una cebolla entonces el área es
$$ A = 2 \pi \cdot 1 + 2 \pi \cdot 2 + 2\pi \cdot 3 + \ldots + 2 \pi \cdot n $$ que
$$ = 2 \pi \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \pi (n^2 + n) $$
Pero la respuesta es errónea. Por favor, dígame en qué me equivoco.
Bueno, vamos a mirar de cerca lo que estás haciendo. Ahora mismo, si quieres calcular el área de un círculo de radio $4$ En la imagen siguiente, estás sumando las circunferencias por el "grosor" de cada piel, que es $1$ :
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Sin embargo, este método tiene un problema: cada circunferencia representa el área de todo lo que está dentro de ella, pero antes del siguiente círculo. Así, por ejemplo, la circunferencia del círculo rojo se aproxima al área en la que se encuentra el círculo azul en la siguiente imagen:
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lo cual es problemático porque la circunferencia roja es mayor que la azul, lo cual es un problema, lo que significa que su método es una sobreestimación.
Hablando con más rigor, necesitamos que el área de un círculo sea invariante de cómo lo cortemos - si dividimos un círculo en anillos de la mitad del grosor como sigue:
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entonces su método sugiere menos área - en particular, si el área original que su método obtuvo fue $\pi (n^2+n)$ entonces la nueva área es $\pi (n^2+\frac{n}2)$ (Una forma rápida de obtener este resultado sin sumar una nueva serie es ver que esto es lo mismo que duplicar $n$ y tomando una cuarta parte del área así calculada). Esto debería preocuparnos un poco, porque el área de un círculo no debería depender de la forma en que lo midamos, y debería escalar de forma que al duplicar el radio se cuadruplicara el área. Sin embargo, si subdividimos cada uno de los anillos originales en $c$ secciones, obtendríamos un área de $\pi (n^2+\frac{n}c)$ y, al aumentar $c$ nos acercamos a la zona correcta de $\pi n^2$ . En un sentido riguroso, podemos considerar que el proceso de dividir secciones cada vez más finas de los círculos es un ejemplo de integración, pero podemos evitar este tipo de herramientas refinando nuestro enfoque geométrico.
En particular, en lugar de estimar el área de una rebanada como el anillo exterior por su grosor, podemos estimar el área de una rebanada mediante un círculo que pasa por el "punto medio" del anillo por el grosor, es decir, utilizamos las líneas de puntos del siguiente diagrama para estimar el área de las secciones por las que pasan:
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que produce la suma: $$2\pi \cdot \frac{1}2 + 2\pi \cdot \frac{3}2 +2\pi \cdot \frac{5}2 +\ldots + 2\pi \cdot \frac{2n-1}2 $$ que es igual a $$\pi n^2.$$ Resulta que ésta es la respuesta correcta, y podemos convencernos de ello mediante diversos métodos. El más elemental es considerar que si hacemos divisiones cada vez más finas* como antes, este valor no cambia - por lo tanto, debe ser el valor correcto ya que cualquier otro valor se desplazaría hacia el valor real al hacerlo. El cálculo también nos dice que, dado que la circunferencia de un círculo aumenta linealmente con su radio y que estamos integrando sobre él, la cantidad que estimamos de más o de menos al elegir el centro se equilibra. En cualquier caso, esto da la respuesta correcta y da una razón geométrica plausible para que sea así.
*También podemos hacer divisiones más gruesas - podríamos tener una división y adivinar $2\pi \cdot \frac{n}2 \cdot n$ como la circunferencia de un círculo de la mitad del radio por el "grosor" de todo el círculo.
El problema es que tu cebolla no tiene suficientes capas. Si usted fuera a integrar la función de la circunferencia $2\pi r$ lo que equivale a hacer un número infinito de capas, se obtendría efectivamente $$2\pi \cdot \frac{1}{2}r^2=\pi r^2$$ Sin embargo, no estoy seguro de que llame a la integración "matemáticas básicas".
Alternativamente, se puede ver un círculo como un $n$ -gon con $n \rightarrow \infty$ lados y longitud de los lados $k$ . Este polígono se aproxima por su círculo circunscrito de radio $r$ . Por supuesto, podemos dividir el polígono en $n$ triángulos. Podemos aproximar $k$ por $\frac{2\pi r}{n}$ . La altura es $r$ . Por lo tanto, el área total de dicho triángulo es $\frac{1}{2}\frac{2\pi r}{n}r=\frac{\pi r^2}{n}$ por lo tanto, el área total del polígono y, por tanto, del círculo es $\pi r^2$ . Por supuesto, para escribirlo con rigor, también tenemos que considerar el círculo inscrito y escribir los límites, etc., pero esta es la idea.
Hay que añadir áreas, no longitudes. Así que aproxima el área de las capas multiplicando la circunferencia por una pequeña longitud radial: $$ \left (2\pi\,\frac rn\right)\,\frac rn,\ \ \left (2\pi\,\frac {2r}n\right)\,\frac rn,\ \ \ldots \ \ ,\left (2\pi\,\frac {nr}n\right)\,\frac rn. $$ La suma es $$ \frac {2\pi r^2}{n^2}\, (1+2+\cdots+n)=\pi r^2\,\left (1+\frac1n\right). $$
El error está en no tener en cuenta que el radio en el exterior es mayor que el radio en el interior; sin embargo, sólo se utiliza el radio en el exterior para calcular el área de la capa de la cebolla. El error es más evidente en la capa más interna, que es sólo el círculo de radio $1$ . El borde interior de esa capa es el punto central del círculo, ¡que tiene longitud cero! En consecuencia, el área que se calcula para la capa más interna es $2\pi\cdot 1 = 2\pi$ mientras que su superficie real es $\pi\cdot 1^2 = \pi$ Así que exageras el área de esa capa por un factor de dos.
Bien, si tomas la circunferencia exterior de tu capa, obviamente obtienes un resultado demasiado grande. Por otro lado, si tomas la circunferencia interior de tu capa, obtienes un resultado demasiado pequeño. Entonces, ¿qué circunferencia tomar? Bueno, si la circunferencia más interna es demasiado pequeña y la más externa es demasiado grande, entonces obviamente necesitas la circunferencia de algún círculo intermedio.
Así que tomemos el círculo del centro. Para el $n$ -en la capa de la cebolla que tiene el radio $n-\frac12$ y, por lo tanto, ahora se obtiene $$A = 2\pi\cdot\left(1-\frac12\right) + 2\pi\cdot\left(2-\frac12\right) + \ldots = 2\pi \frac{n(n+1)}{2} - n\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \pi n^2$$
Bien, pero ¿cómo sabemos ahora que este es el valor correcto? Después de todo, ¿podríamos haber elegido cualquier otro valor?
Bien, tiene sentido que el radio del círculo a tomar esté siempre en alguna fracción fija entre el radio interior y el exterior, lo que significa que para su espesor $1$ capas siempre tendrá un radio de $n-x$ con $x$ un número entre $0$ y $1$ .
Ahora veamos las dos capas más internas. Si tomamos sólo una capa, vemos que la capa es en sí misma sólo el círculo de radio 1. Su área es entonces, según nuestra fórmula, $A_1=2\pi(1-x)$ Si, en cambio, tomamos las dos primeras capas, vemos que obtenemos el círculo de radio dos. Ahora el círculo de radio dos es simplemente el círculo de radio $1$ dilatada al doble de su tamaño. La geometría elemental nos dice que tiene así $2^2=4$ veces el área del círculo original, por lo que su área es $$A_2=4A_1=8\pi(1-x)$$ Por otro lado, la "fórmula de la cebolla" nos dice que su área es $$A_2=2\pi(1-x) + 2\pi(2-x) = 2\pi(3-2x)$$ La única manera de que ambas fórmulas sean verdaderas al mismo tiempo es si $$8\pi(1-x) = 2\pi(3-2x)$$ lo que significa $$x=\frac12$$
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