Tengo un pequeño problema: si $X_{t}$ y $Y_{t}$ son dos movimientos brownianos indipendientes, es entonces $$Z_{t}:=X_{t}+Y_{t}$$ ¿también un movimiento browniano? Tengo algunos problemas sólo con mostrar que $Z_t$ es gaussiano. Gracias por su ayuda.
Respuesta
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Primero demostramos que si $X\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ es normal $\mathcal{N}(m, C)$ , $Y\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ es normal $\mathcal{N}(m^{\prime}, C^{\prime})$ y son independientes entonces $X+Y$ es normal $\mathcal{N}(m_1+m_2, C_1+C_2)$ . Aquí $m$ , $m^{\prime} \in \mathbb{R}^n$ y $C=[c_{jk}]$ , $C^{\prime}=[c_{jk}^{\prime}]$ son definidos no negativos $n \times n$ matrices.
Sea $\phi_X$ y $\phi_Y$ sean las funciones características correspondientes. Dado que $X$ y $Y$ son independientes tenemos que $$ \phi_{X+Y}= \phi_X\phi_Y.$$ Además,
$$\phi_{X+Y}(x_1, \ldots, x_n)= \phi_X(x_1, \ldots, x_n)\phi_Y(x_1, \ldots, x_n)= \exp\left( -\frac{1}{2}\sum_{j,k}x_jc_{jk}x_k + i\sum_{j}x_jm_j \right)\exp\left( -\frac{1}{2}\sum_{j,k}x_jc_{jk}^{\prime}x_k + i\sum_{j}x_jm_j^{\prime} \right)= \exp\left( -\frac{1}{2}\sum_{j,k}x_j(c_{jk}+c_{jk}^{\prime})x_k + i\sum_{j}x_j(m_j+m_j^{\prime}) \right). $$ Obsérvese que se trata de la función característica de $\mathcal{N}(m+m^{\prime}, C + C^{\prime})$ y como la función característica determina unívocamente la distribución de $X+Y$ es $\mathcal{N}(m_1+m_2, C_1+C_2)$ .
Ahora, creo que podrás terminar la respuesta.
