Probar

Question

Si $w=\cos \frac{2\pi}{p}+i\sin \frac{2\pi}{p}$ y $p$ es un primer y $a_0,a1,\dots ,a{p-1}$ son no cero enteros y $a_{p-1}w^{p-1}+\dots +a_1w+a_0=0$prueba $a_0=a1=\dots =a{p-1}$

Tengo una solución en alguna parte pero no sé cómo funciona:

"La cosa es que $\Phip (X)$ es irreducible (excepto 2 paridad de cuz) y divide $P(X)=\sum\limits{i=0}^{p-1} a_iX^i$

Answer 1

$\mathbb Z[x]$ es el anillo de polinomios con coeficientes enteros. Definición: Cualquier $f(x)\in Z[x]$ es irreducible en a $Z[x]$ fib siempre $g(x), h(x)\in \mathbb Z[x]$$f(x)=g(x)h(x)$, entonces al menos uno de $g(x),h(x)$ es una constante.

$(\bullet)$. Deje $f(x)\in \mathbb Z[x]$ ser irreductible en $Z[x]$ con deg$(f(x))>0$ y deje $z\in \mathbb C$ satisfacer $f(z)=0.$ Si $0\ne g(x)\in \mathbb Z[x]$ $g(z)=0$ $g(x)=f(x)h(x)$ algunos $h(x)\in \mathbb Z[x].$

Teorema. (Eisenstein). Si $f(x)=\sum_{j=0}^n A_jx^j\in \mathbb Z[x]$$n\geq 1$, y si $p$ es un número primo tal que...... (i) $p$ no divide $A_n,$ y (ii) $p$ divide $A_j$ $0\leq j\leq n-1,$ y (iii) $p^2$ no dividir $A_0,$...... a continuación, $f(x)$ es irreducible en a $\mathbb Z[x].$ Esto se suele llamar el Criterio de Eisenstein: suficiente (pero no necesaria) condición para $f(x)\in \mathbb Z[x]$ a ser irreductible en $\mathbb Z[x].$

Con $p$ el primer y el $w=\cos (2\pi /p) +i \sin (2\pi /p)$ tenemos $0=w^p-1=(w-1)f_p(w),$ donde $$f_p(x)=\sum_{j=0}^{p-1}x^j$$ and $w\ne 1$ so $f_p(w)=0.$

Para $x\ne 1$ deje $x=y+1$ y tenemos $$f_p(x)=\frac {x^p-1}{x-1} =\frac {(y+1)^p-1}{y}= \sum_{j=0}^{p-1}\binom {p}{j+1}y^j= k_p(y).$$

Ahora $p$ es el primer so $\binom {p}{j+1}$ es divisible por $p$ $0\leq j\leq p-2.$ $\binom {p}{p}=1$ mientras $\binom {p}{1}=p$ no es divisible por $p^2.$ $k_p(x)$ cumple con el Criterio de Eisenstein: $k_p(y)$ es irreducible en a $Z[y].$

Por lo tanto, $f_p(x)$ es irreducible en a $\mathbb Z[x].$

Porque si $f_p(x)=g(x)h(x)$$g(x),h(x)\in \mathbb Z[x]$$k_p(y)=f_p(x-1)=g(x-1)h(x-1)=g(y)h(y)$, por lo que al menos uno de $g(y),h(y)$ es constante.

Por último, si $g_p(x)=\sum_{j=0}^{p-1} a_jx^j\in \mathbb Z[x]$ y no todos los $a_j$ $0,$ e si $g_p(w)=0$ $(\bullet)$ existe $h(x)\in \mathbb Z[x]$ tal que $g_p(x)=h(x)f_p(x).$ Esto implica $$p-1\geq \deg (g_p(x))=\deg (h(x))+\deg (f_p(x))=\deg (h(x))+p-1$$ so $h(x)$ is a constant: $h(x)= K. $ Then $a_j=K$ for $0\leq j\leq p-1.$

Observación. He empleado un típico abuso de notación, el uso de $f(x), k_p(y),$ etc., para denotar funciones y el uso de $f(z),f(w),$ etc., para denotar los números.

Answer 2

$w$ es raíz primitiva $p$-th de la unidad en $\mathbf C$ y su polinomio mínimo es el ciclotómicas % polinomio $$\Phip(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1. $$ como todo polinomio mínimo genera el % ideal $I(w)\subset\mathbf Q[X]$de todos los polinomios que se desvanecen en $w$. Así que hay un polinomio $Q(X)$ tal que $$F(X):=a{p-1}X^{p-1}+a_{p-2}X^{p-2}+\dots+a_1X+a_0=Q(X)\Phi_p(X).$ $ sin embargo, como $F(X)$ y $\Phip(X)$ tienen el mismo grado de $p-1$, $Q(X)$ debe ser una constante $c$, que $$a{p-1}=a_{p-2}=\dots=a_1=a_0=c.$ $

Answer 3

Con

$w = \cos \dfrac{2\pi}{p} + i \sin \dfrac{2\pi}{p}, \tag 1$

$p$ un primo,

tenemos

$w^p = 1, \tag 2$

de dónde

$(w - 1)(\sum_0^{p - 1} w^i) = w^p - 1 = 0; \tag 3$

desde $w \ne 1$, esto implica

$\phi_p(w) = \sum_0^{p - 1} w^i = w^{p - 1} + w^{p - 2} + \ldots + w + 1 = 0. \tag 4$

Una forma fácil y conocida aplicación de Eisenstein criterio muestra que el polinomio

$\phi_p(x) = \sum_0^{p - 1} x^i = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \ldots + x + 1 = 0 \tag 5$

es irreducible sobre $\Bbb Q$; así, desde la $w$ satisface $\phi_p(x)$, este polinomio debe ser el polinomio mínimo de a$w$$\Bbb Q$; de hecho, si no eran constantes $f(x) \in \Bbb Q[x]$ $f(w) = 0$ de grado mínimo $\deg f(x) < \deg \phi_p(x)$, luego por el algoritmo de la división para polinomios podríamos escribir

$\phi_p(x) = q(x) f(x) + r(x), \tag 6$

con (i.) $r(x) = 0$, o (ii). $r(x) \ne 0$ $\deg r(x) < \deg f(x)$ ; en el caso de (ii.), a partir de (6) se han

$r(w) = \phi_p(w) - q(w) f(w) = 0, \tag 7$

y si $\deg r(x) = 0$, (7) implica $r(x) = 0$ idéntica, contradiciendo $r(x) \ne 0$; por lo tanto, $\deg r(x) \ge 1$, y desde $\deg r(x) < \deg f(x)$, esto se contradice con la minimality de $f(x)$ como un no-constante polinomio con $f(w) = 0$; por lo tanto descartamos caso (ii), de donde $r(x) = 0$, de modo que

$\phi_n(x) = q(x) f(x); \tag 8$

esto, sin embargo, contradice la irreductibilidad de $\phi_p(x)$; por lo tanto $\phi_p(x)$ es el polinomio mínimo de a$w$$\Bbb Q$.

Ahora supongamos que $0 \ne a_i \in \Bbb Z$, $0 \le i \le p -1$ y $a_{p - 1} = a_{p - 2} = \ldots = a_1 = a_0$ no no espera; considerar

$a(x) = \sum_0^{p - 1} a_ix^i = a_{p - 1} x^{p - 1} + a_{p - 2} x^{p - 2} + \ldots + a_1 x + a_0. \tag 9$

Asumiendo $a(w) = 0$, que forman el polinomio

$\Delta(x) = a_{p - 1} \phi_p(x) - a(x) = \sum_0^{p - 1}(a_{p - 1} - a_i)x^i \ne 0, \tag{10}$

desde $a_i \ne a_{p - 1}$ para algunos $i$, $0 \le i \le p - 2$. Tenemos

$\Delta(w) = a_{p - 1} \phi_p(w) - a(w) = 0; \tag{11}$

pero $\deg \Delta(x) < p - 1$, de nuevo contradiciendo la minimality de $\phi_p(x)$; por lo tanto debemos tener $\Delta(x) = 0$ o $a_{p - 1} = a_i$, $0 \le i \le p -1$, en cuyo caso

$a(x) = a_{p- 1} \phi_p(x). \tag {12}$

Nota Bene: En efecto, la restricción de la $a_i$ $a_i \in \Bbb Z$no parece esencial para el argumento anterior, podríamos haber tomado el $a_i \in \Bbb Q$. Final de la Nota.