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Question

<blockquote> <p>La secuencia de los números reales $(a_n)$ se define así: $a_0=\frac {1}{2010}$ y $a_{n+1}=a_n-\arcsin(\sin^2a_n)$ % todos $n\ge0$. Encontrar $\lim\limits_{n \to \infty}(\sqrt n\cdot a_n)$.</p> </blockquote> <p><strong>Mi trabajo hasta ahora:</strong></p> <p>Secuencia $a_n$ de disminución, sino positivo, $\sin a_n>\sin^2 a_n$. Así que hay un límite, y es igual a cero. Aplicar Teorema de Stolz secuencias $na_n$: $$\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}\frac n{\frac1{a_n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1-n}{\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}}.$ $</p>

Answer 1

$a_n$ es una secuencia decreciente monótona que converge a $0$.

Tenga en cuenta % $ $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n-\arcsin(\sin^2a_n)}=\frac{1}{a_n}\frac{1}{1-\frac{\arcsin(\sin^2a_n)}{a_n}}$

Desde $\displaystyle \frac{1}{1-\frac{\arcsin(\sin^2x)}{x}}=1+x+o(x)$,

$$\frac{1}{a{n+1}}=\frac{1}{a{n}}+1+o(1)$$

es decir, $\displaystyle \frac{1}{a{n+1}}-\frac{1}{a{n}}\to 1$.

Teorema de medias de CESARO $\displaystyle \frac{1}{na_n}\to 1$, por lo tanto los rendimientos $\displaystyle \frac{1}{\sqrt n a_n}\to \infty$ y $\sqrt n a_n\to 0 $

Más trabajo asintótica demuestra que $\displaystyle a_n=\frac 1n - \frac{\ln n}{n^2} +o\left( \frac{\ln n}{n^2} \right)$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $(a_n)$ es estrictamente decreciente porque $a_0=1/2010\in Q_1$ (primer cuadrante), entonces el $0