Módulos sobre anillo de polinomios en varios indeterminados.

Question

He leído esta proposición y su prueba en el Dummit del libro (no Es exactamente así, pero esta es la idea de la proposición).

Deje $F$ ser un campo, $V$ un espacio vectorial sobre$F[x]$$T\in \mathcal{L}(V)$. A continuación, $V$ puede ser visto como un $F[x]-$módulo definición $$\left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)\cdot v=\sum_{i=0}^na_i T^i(v)$$ (Vamos a llamar a esta extensión por ahora $V(F[x],T)$) Además, cada módulo de $M$ $F[x]$ es un espacio vectorial sobre $F$, la transformación de $T(v)=x\cdot v$ es un mapeo lineal de $M$ y, como un módulo, $M=M(F[x],T)$

Esto caracteriza a todos los módulos a través de $F[x]$ como espacios vectoriales sobre $F$ con un mapeo lineal de ellos.

Es allí cualquier resultado análogo para los módulos a través de $F[x_1,\cdots,x_r]$?

Answer 1

La definición de una estructura de módulo a través de $F[x_1,\dots,x_n]$ $V$ (suponiendo que la acción de la $F$ se conserva) es la misma como la especificación de una $F$-álgebra homomorphism $$ \varphi\colon F[x_1,\dots,x_n]\a \operatorname{End}_F(V) $$ (el codominio es el anillo de $F$-endomorphisms de $V$). Esto es equivalente a especificar endomorphisms $T_1,\dots, T_n$ que son pares de trayecto, que es $$ T_i\circ T_j=T_j\circ T_i,\qquad 1\le i\le n,\quad 1\le j\le n $$

Si $\varphi$ es dado, definir $T_i=\varphi(x_i)$; si los desplazamientos endomorphisms se dan, utilice la característica universal del polinomio anillos, junto con el hecho de que el $F$-subalgebra de $\operatorname{End}_F(V)$ generado por $T_1,\dots,T_n$ es conmutativa.