¿Qué es el arcsec (-2)?

Question

La pregunta pide que se resuelva $\operatorname{arcsec}(-2) $ .

Las opciones son

a) π/3

b) −(π/3)

c) 5π/3

d) 4π/3

e) 2π/3

Así que mis pensamientos son: este es el cuadrante 2 o 3; en el círculo de la unidad, $ x = -1/2 $ .

$\cos(t) = 1/2$ donde $t$ es de 60°. En el cuadrante 2 es 2π/3. En el cuadrante 3 es 4π/pi.

Pensé que la respuesta podía ser la d o la e.

La clave de respuestas dice que la única respuesta correcta es la d.

La calculadora gráfica muestra que la respuesta debe ser e.

¿Quién tiene razón y por qué?

Answer 1

Depende de cómo se defina $\operatorname{arcsec} x$ . Su dominio es $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ y se puede definir de manera que \begin {casos} 0 \le \operatorname {arcsec}x< \frac { \pi }{2} & \text {si $x\ge1$ } \\ \frac { \pi }{2}< \operatorname {arcsec}x \le\pi & \text {si $x\le-1$ } \end {casos} Estás en el segundo caso, así que (e) debería ser la respuesta correcta, porque $\cos(2\pi/3)=-1/2$ .

Sin embargo, es concebible una definición diferente de la función, aunque la respuesta (d) sonaría bastante extraña.

Answer 2

Wikipedia dice "Algunos autores definen el rango de arcosecante como ( $0 \le y < \pi/2$ o $\pi \le y < 3\pi/2$ ), porque la función tangente es no negativa en este dominio".

Es probable que su curso se adhiera a esta convención (y se le pide que la cumpla).

Answer 3

Las funciones trigonométricas no son invertibles -- funciones trigonométricas no tienen inversos . Por lo tanto, la idea de las "funciones trigonométricas inversas" plantea algunos problemas.

El ejemplo relacionado más familiar es el de las raíces cuadradas. El número 9 tiene dos raíces cuadradas. Sin embargo, hemos elegido una de esas raíces cuadradas para que sea el valor "principal", así que cuando escribimos $\sqrt{9}$ nos referimos a $3$ .

Podríamos haber elegido que el valor principal fuera siempre negativo, de modo que dijéramos $\sqrt{9} = -3$ y $\sqrt{9} \neq 3$ . Incluso podríamos haber elegido que fuera positivo para algunos valores y negativo para otros. Pero, en cierto sentido, tomar la raíz cuadrada positiva es la convención "correcta".

Lo mismo se hace con las funciones trigonométricas inversas. Por eso sólo hay una respuesta a tu pregunta en lugar de dos. Pero a diferencia de la raíz cuadrada, no hay una convención "correcta" para algunas de ellas. Aquí tienes un extracto de la Manual de Ciencias Matemáticas, 6ª edición :

$$ \begin{array} \\\hline -\pi/2 &\leq& \mathop{\mathrm{Arcsin}} x &\leq& \pi/2, & & -1 &\leq& x &\leq& 1 \\\hline 0 &\leq& \mathop{\mathrm{Arccos}} x &\leq& \pi, & & -1 &\leq& x &\leq& 1 \\\hline -\pi/2 &<& \mathop{\mathrm{Arctan}} x &<& \pi/2, & & -\infty &<& x &<& \infty \\\hline 0 &<& \mathop{\mathrm{Arccsc}} x &\leq& \pi/2, & & & & x &\geq& 1 \\-\pi &<& \mathop{\mathrm{Arccsc}} x &\leq& -\pi/2, & & & & x &\leq& -1 \\\hline 0 &\leq& \mathop{\mathrm{Arcsec}} x &<& \pi/2, & & & & x &\geq& 1 \\ -\pi &\leq& \mathop{\mathrm{Arcsec}} x &<& -\pi/2, & & & & x &\leq& -1 \\\hline 0 &<& \mathop{\mathrm{Arccot}} x &<& \pi, & & -\infty &<& x &<& \infty \\\hline \end{array}$$ Nota . No existe un acuerdo uniforme sobre las definiciones de $\mathop{\mathrm{Arccsc}} x$ , $\mathop{\mathrm{Arcsec}} x$ , $\mathop{\mathrm{Arccot}} x$ para valores negativos de $x$

que, como puede ver, habría asignado un valor diferente a $\mathop{\mathrm{Arcsec}} -2$ ¡que ni siquiera aparece en su lista de opciones!

Answer 4

Poner $x = {\rm arcsec}(-2)$ . Entonces $\sec(x) = -2$ así que $\cos(x) = -1/2$ .

Answer 5

El cos -.5 es 120 grados en Q II o 240 grados en Q III. ¡¡Ambas respuestas son correctas!