Es $t^4 + 7$ irreducible sobre $\mathbb{Z}_{17}$ ?

Question

No hay factores lineales, $-7$ no tiene raíz cuadrada en $\mathbb{Z}_{17}$ así que he descartado esas factorizaciones "fáciles". No estoy seguro de cómo continuar. Busco una pista, no una solución.

Answer 1

Sugerencias ampliadas:

1. Calcular el orden de $-7$ en $\Bbb{Z}_{17}^*$ . En lo que sigue lo llamo $n$ .
2. Porque $n$ es una potencia de dos (¿cómo lo sabía de antemano?) se puede deducir que cualquier cero $\alpha$ de $x^4+7$ tiene orden $4n$ ( $\alpha$ está en algún campo de extensión finito $\Bbb{F}_{17^k}$ ).
3. Recordemos que el grupo multiplicativo $\Bbb{F}_{17^k}^*$ es cíclico de orden $17^k-1$ . Utilice esto para determinar $k$ .
4. ¿Cuál es la conexión entre $k$ y el polinomio mínimo de $\alpha$ ?