Funciones continuas satisfaciendo una condición ser convexo

Question

Que $f$ ser continuo en $\mathbb R$ y satisify $$f(x)\leq \frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)d t, \forall\ h>0.$ $ muestran que $f$ es convexo.

La pregunta es "si y sólo si". Sin embargo, sólo podía resultar en parte. Pero la otra parte (esta cuestión) es este problema. Quiero mostrar que %#% $ de #% de $$f((x+y)/2)\leq (f(x)+f(y))/2$ $ sin embargo, no tengo ni idea.

Answer 1

Aquí es un enfoque posible.

Lema. Una condición necesaria y suficiente para que una función continua $f$ debe ser convexa en un intervalo de $I$ es que, si $\alpha$ es cualquier número real y $K$ es cualquier intervalo cerrado contenido en $I$, $x \mapsto f(x)+\alpha x$ debe alcanzar su máximo en $K$ en uno de los extremos de $K$.

Esto es una consecuencia directa de la definición de la convexidad.

Ahora, si $f$ satisface su integral condición, entonces también se $x \mapsto f(x)+\alpha x$ cumple la misma condición, no importa lo $\alpha$ es. Pero realmente no es difícil comprobar que la integral de la desigualdad implica la aplicabilidad de la anterior Lema.

(Este enfoque se sugiere en el libro de las Desigualdades por Hardy, Littlewood y Polya, página 98).

Answer 2

Deje $\delta>0$ y definir $$ f_\delta(x)=\frac{1}{\delta^2}\int_{-\delta}^\delta \lvert s\rvert\,f(x+s)\,ds. $$ A continuación, $f_\delta$ dos veces continuamente diferenciable, y $f_\delta\to f$ uniformemente en compactos los conjuntos.

A continuación, podemos obtener fácilmente que $$ f_\delta(x)\le\frac{1}{2h}\int_{-h}^hf_\delta(x+t)\,dt, $$ lo que implica que para todos los $h>0$: $$ \int_{-h}^h\big(f_\delta(x+t)-f_\delta(x)\big)\,dt= \int_0^h\big(\,f_\delta(x+t)-2f_\delta(x)+f_\delta(x-t)\big)\ge 0. $$ Pero $$ \int_0^h\big(\,f_\delta(x+t)-2f_\delta(x)+f_\delta(x-t)\big)=\int_0^h \Big(\int_0^t \big (\f'_\delta(x+\tau)-f'_\delta(x-t+\tau)\big)\,d\tau\)\, dt \\= \int_0^h \Big(\int_0^t \big(\,\int_{-t}^0 f"_\delta(x+\tau+s)\,ds\big)\,d\tau\)\, dt $$ y, por lo tanto, para todos los $h>0$: $$ \int_0^h \Big(\int_0^t \big(\,\int_{-t}^0 f"_\delta(x+\tau+s)\,ds\big)\,d\tau\)\, dt\ge 0, $$ lo que implica que $$ f"_\delta(x)\ge 0, $$ para todos los $x$.

Por lo tanto $f_\delta$ es convexa, y así es $f$, como un localmente límite uniforme de $f_\delta$$\delta\searrow 0$.