Diagonalización y valores propios

Question

Sea $A$ $\in M_3(\mathbb R)$ que no es una matriz diagonal. Elija los casos en que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$ :

a. cuando $A^2 = A$ ;

b. cuando $(A - 3I)^2 = 0$ ;

c. cuando $A^2 + I = 0$ .

Podría eliminar c. utilizando la ecuación $\lambda^2+1$ y mostrando que si una matriz tiene que satisfacer esto entonces tiene que ser diagonal.

También tengo dudas sobre si todos los valores propios de $A$ satisfacerlo o no.

Answer 1

Sea $A\in \mathcal M_3(\mathbb R)$ .

• Si $A^2=A$ entonces $A^2-A=0_{\mathcal M_3(\mathbb R)}$ por lo que el polinomio mínimo $m_A$ de $A$ está en $\{x, x-1, x(x-1)\}$ . Dado que cualquier matriz es diagonalizable si, y sólo si, su polinomio mínimo sólo tiene factores lineales, se deduce que $A$ es diagonalizable.
• Considere $A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0\\0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}.$
• Si $A^2+I=0$ entonces el polinomio mínimo de $A$ es $\,\_\_\_\_\_\_$ que tiene grado $\_\_$ Sin embargo $A$ tiene grado $\_\_$ y, por tanto, tiene una raíz real. Esto significa que tal real matriz no puede existir.

Answer 2

No estoy seguro de cuál es la pregunta, así que intentaré responderla. Supongo que quieres saber qué condición adicional se necesita para asegurar que es diagonalizable.

a) $A^2=A$

En este caso, los valores propios de $A$ tiene que ser cero o uno. Como necesitamos tres valores propios, al menos uno de ellos se repite. Ahora el bloque de Jordon del valor propio repetido tiene que ser diagonal para que se cumpla (a). Por lo tanto $A$ es diagonalizable.

b) $(A-3I)^2=0$

No es necesario que sea diagonalizable, a menos que $A-3I=0$ . Si esto no es cierto, entonces A tiene que ser similar a $$A = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\cr 0 & 3 & 0\cr 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$ que no se puede diagonalizar.

c) A^2+I = 0

Esto no se puede diagonalizar en el campo de los números reales. Esto se debe a que los valores propios de cualquier matriz diagonal son los valores en las diagonales. Sin embargo, $A$ tiene valores propios $\pm \sqrt{-1}$ .

Answer 3

En mi respuesta al gemelo malvado de esta pregunta ofrezco otro punto de vista al respecto, Matriz diagonalizable o no ¡!

Espero que le sirva de ayuda. Salud,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!