Me gustaría probar la siguiente identidad: $0<j acerca="" alguna="" algunos="" all="" but="" checked="checked" clue="" combinatoria="" como="" de="" enteros.="" espera="" for="" gracias.="" have="" hay="" he="" how="" i="" inclusi="" indicio.="" it="" j="" no="" o="" on="" parece="" pensado="" pero="" porque="" posible="" prove="" prueba="" puede="" several="" si="" small="" t="" tener="" to="" una="" uno=""></j>
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos que para $0< j<n/2$, $$\begin{align} \sum_{k=0}^j (-1)^k \frac{n-2k}{n-j-k} \binom{n}{k} \binom{n-j-k}{j-k}&= \frac{1}{n-2j} \sum_{k=0}^j (-1)^k (n-2k) \binom{n}{k} \binom{n-j-k-1}{j-k}\\ &= \frac{n}{n-2j} \sum_{k=0}^j (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n-j-k-1}{j-k} \\&\qquad-\frac{2n}{n-2j} \sum_{k=1}^j (-1)^k \binom{n-1}{k-1} \binom{n-j-k-1}{j-k}. \end{align}$$ Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$\sum_{k=0}^j (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n-j-k-1}{j-k} =2\sum_{k=1}^j (-1)^k \binom{n-1}{k-1} \binom{n-j-k-1}{j-k}\etiqueta{$\star$}.$$ Ahora uso el hecho de que $$(-1)^k\binom{n-j-k-1}{j-k}=(-1)^j\binom{2j-n}{j-k}.$$ Entonces, por Vandermonde de la identidad, del lado izquierdo de $(\star)$ es $$\sum_{k=0}^j (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n-j-k-1}{j-k}= (-1)^j\sum_{k=0}^j \binom{n}{k} \binom{2j-n}{j-k}=(-1)^j\binom{2j}{j}$$ y la RHS de $(\star)$ es $$2\sum_{k=1}^j (-1)^k \binom{n-1}{k-1} \binom{n-j-k-1}{j-k}= 2(-1)^j\sum_{k=1}^j \binom{n-1}{k-1} \binom{2j-n}{j-k} \\=2(-1)^j\binom{2j-1}{j-1}=(-1)^j\binom{2j}{j}$$ y hemos terminado.
