$1+yx$ es izquierda-inversible si y solamente si es inversible $1+yx$

Question

Deje $R$ ser un anillo (con identidad multiplicativa $1$) y fix $x\in R$. Quiero mostrar que

$1+yx$ es de izquierda invertible para todos los $y\in R$ si y sólo si $1+yx$ es invertible para todos los $y\in R$.

Decimos que $r\in R$ es de izquierda es invertible si existe $s\in R$ tal que $sr=1$. Por otra parte, nos dicen que $r\in R$ es invertible si existe $s\in R$ tal que $sr=1=rs$.

A partir de la definición, una de las direcciones es trivial. Es decir, si $1+yx$ es invertible para todos los $y\in R$, $1+yx$ es de izquierda invertible para todos los $y\in R$. Sin embargo, estoy teniendo problemas con la conversación.

Answer 1

Supongamos que $1+yx$ es inversible izquierdo todos $y\in R$. Luego $$s(1+yx)=1$$ for some $s\in R$. Podemos reescribir la ecuación arriba como $$s = 1- syx.$ $ $-sy\in R$, $s$ es invertible a la izquierda y así $$rs=1$$ for some $r\in R$. Todo junto, $$r = rs(1+yx) = 1+yx.$ $ por lo tanto, $1+yx$ es invertible.