toda función que se asigna la línea real a sí mismo es lineal

Question

Que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ ser una función entera tal que $\mathbb{R}=f^{-1}(\mathbb{R})$. Muestran que $f$ es lineal. es decir

$$\exists\ a,b\in\mathbb{R}:f(z)=az+b$$

Sugerencia

Creo que $f$ debe asignar el plano medio superior y baje medio plano a ciertos dos conjuntos abiertos desconectados.

Tal vez, si podemos demostrar que $f$ es una transformación de mobius, entonces podemos entonces podemos ver

$$g(z)=\frac{f(z)-f(0)}{z}$$

y el final.

Answer 1

Deje $\mathbb H$ ser la mitad superior del plano -. A continuación, $-\mathbb H$ es la mitad inferior del plano -. El conjunto $f(\mathbb{H})$ está conectado y que no contiene ningún número real. Por lo tanto, $f(\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$ o $f(\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}$. Por el mismo argumento, $f(-\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$ o $f(-\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}$. Pero no podemos $f(\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$ $f(-\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$ al mismo tiempo, porque, a continuación, $f(\mathbb{C})\subset\mathbb{H}\cup\mathbb{R}$ y luego, desde la $f$ es una asignación abierta, $f(\mathbb{C})\subset\mathbb{H}$, lo cual es imposible, ya que $f(\mathbb{R})\subset\mathbb R$. Por el mismo argumen, no podemos tener $f(\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}$ $f(-\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}$ simultáneamente. Así que, o bien$$f(\mathbb{H})\subset\mathbb{H}\text{ and }f(-\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}\tag1$$or$$f(\mathbb{H})\subset-\mathbb{H}\text{ and }f(-\mathbb{H})\subset\mathbb{H}.$$We can assume without loss of generality that $(1)$ sostiene. Ahora, usted va a encontrar una respuesta aquí.