dimensión inyectiva y Ext

Question

Dejemos que $(R,m)$ sea un anillo conmutativo local noetheriano con una unidad. $M$ es un módulo finitamente generado. En el artículo "Minimal Injective Resolutions" de Robert Fossum, menciona que es estándar que

$$\operatorname{id}_R(M)=\sup\{i\mid \operatorname{Ext}^i_R(R/m,M)\neq 0 \}$$

¿por qué es así? Es decir $\operatorname{id}_R(M)$ es definitivamente $\sup\{i\mid\operatorname{Ext}^i(N,M)\}$ en el que $N$ se extiende a través de todos los módulos. ¿Cómo podemos reducirlo al caso $R/m$ ?

¿Significa esto que $M$ es inyectiva si y sólo si $\operatorname{Ext}^1(R/m,M)=0\,$ ? Quiero decir que si esto es cierto, el problema original es trivial.

Gracias

Answer 1

(R,m) es un anillo local noetheriano.

Lo siento mucho por la argumentación errónea.Gracias por el comentario de arriba.Demuestra que $M$ puede no ser inyectiva si $Ext^1(k,M)=0$ Sólo podemos reducir al caso $M$ es inyectiva si $Ext^i(k,M)=0.\forall i>0$ .

Definición:Si $M$ es un $R$ módulo, $p\in Spec(R)$ se llama primo asociado si $\exists x\in M$ tal que $ann(x)=p$ .

Denote $ass(M)$ es el conjunto de ideales primos asociados.

lema1:para cualquier módulo M no nulo, $ass(M)$ no está vacío.

corolario1:para cualquier módulo generado finito $M$ ,hay una filtración: $M_0=0\subset M_1\subset M_2\subset …\subset M_n=M$ tal que $\forall i=0,1,2,…,n-1.\exists p_i\in Spec R$ tal que $M_{i+1}/M_i\cong R/p_i$ (De hecho, $p_i\in Supp(M)$ )

Lema2:si $N$ es de generación finita y $Ext^1(R/p,M)=0 ,\forall p\in Supp(N)$ entonces $Ext^1(N,M)=0$ .

Lemma3:Dejemos que $M$ sea un generador finito $R$ módulo.si $p$ es un ideal primo diferente de $m$ y $Ext^{n+1}(R/q,M)=0，\forall q\in V(p)-p$ entonces $Ext^n(R/p,M)=0$ . (Sugerencia:seleccione $x\in m-p$ entonces hay una secuencia exacta corta $0\rightarrow R/p \xrightarrow x R/p \rightarrow R/(x,p)\rightarrow 0$ . Nota: $Supp(R/(x,p)\subset V(p)-p$ .

Entonces puedes probar $id M=sup\{i\mid Ext^i(k,M)\ncong 0\}$ utilizando repetidamente el lema 3.