La integral \begin{equation} I_m=\int_0^1 \frac{x^m-x}{\sin \pi x} \:dx \end{equation} se expresa como una suma finita de términos de la forma $r_n \zeta(n) \pi^{-n}$ donde $n$ es impar y $r_n$ es un número racional que depende de $n$.
En esta pregunta la Evaluación de $\int_0^1 \frac{x^2-x}{\sin \pi x} dx = - \frac{7 \zeta(3)}{\pi^3}.$ El usuario "user90369", ofrece una respuesta para $I_2$. Así que he seguido sus pasos y generalizado de la integral.
Definir:
\begin{align}
&f(a) = \int_0^1 x e^{ax} dx= \frac{1+e^a(a-1)}{a^2} \\
&g(a) = \int_0^1 x^m e^{ax} dx = \frac{e^a}{a^{m+1}} \left( (-1)^mm! + \sum_{n=1}^{m} (-1)^{m+n} \frac {a^n}{n!} \right) - \frac{(-1)^mm!}{a^{m+1}}
\end{align}
Reescribir $I_m$ como:
\begin{align} I_m &= \int_0^1 \frac{x^m-x}{\sin \pi x} = 2i \int_0^1 \frac{x^m-x}{ e^{i\pi x } - e^{-i \pi x} }\nonumber\\ &= 2i \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1 (x^m-x)e^{-i\pi x(2k+1) } dx \\ &= 2i \sum_{k=0}^{\infty} g(-i\pi(2k+1)) - f(-i\pi (2k+1)) \nonumber \end{align}
Desde que llegué a las siguientes fórmulas para $I_m$.
Al $m$ es incluso y $\geq 2$:
\begin{align*} I_m = \frac{4m!i^m}{\pi^{m+1}} \left( 1-\frac{1}{2^{m+1}}\right) \zeta(m+1) + 2 m! \sum_{n\:odd \geq 0}^{m-2} \frac{i\: \zeta (m-n)}{(n+1)!(i\pi)^{m-n}} \left( 1-\frac{1}{2^{m-n}} \right) \end{align*}
Al $m$ es impar y $\geq 3$:
\begin{align*} I_m = 2 m! \sum_{n\:even \geq 0}^{m-2} \frac{i\: \zeta (m-n)}{(n+1)!(i\pi)^{m-n}} \left( 1-\frac{1}{2^{m-n}} \right). \end{align*}
Algunos valores de $I_m$:
\begin{align*} & I_2 = - \frac{7\zeta(3)}{\pi^3} \\ & I_3 = -\frac{21 \zeta(3)}{2\pi^3}\\ & I_4 = \frac{93\zeta(5)}{\pi^5}-\frac{21\zeta(3)}{\pi^3} \\ & I_5 = \frac{465\zeta(5)}{2\pi^5} - \frac{35\zeta(3)}{\pi^3} \\ & I_6 = -\frac{1}{2} \left( \frac{5715\zeta(7)}{\pi^7} - \frac{1395\zeta(5)}{\pi^5} + \frac{105\zeta(3)}{\pi^3} \right) \\ & I_7 = -\frac{1}{2} \left( \frac{40005\zeta(7)}{2\pi^7} - \frac{3255\zeta(5)}{\pi^5} + \frac{147\zeta(3)}{\pi^3} \right) \\ &I_8 = \frac{160965\zeta(9)}{\pi^9} - \frac{40005\zeta(7)}{\pi^7} + \frac{3255\zeta(5)}{\pi^5}-\frac{98\zeta(3)}{\pi^3} \end{align*}
También es posible integrar por partes $I_m$. De todos modos, he encontrado esta integral interesante y lo quise compartir. Quizás alguien puede hacer algo interesante con ella, o no.
Lo siento por los extraños/descuidado inglés.
