Tenemos el subgrupo $PSL(2,\mathbb{C}) \simeq SO^+(1,3)$. De lo que sí podemos tomar el subgrupo dado por las clases de los siguientes elementos
$$
P_b = \begin{pmatrix}
1&b\\
0&1
\end{pmatrix}
$$
con $b$ real.
Bajo el especificado isomorfismo esto se convierte en
$$
Q=\begin{pmatrix}
t+z&x-iy\\
x+iy&t-z
\end{pmatrix}
\rightarrow
P_b Q P_b^\daga\\
= \begin{pmatrix}
t+2bx+b^2 t + (1-b^2) z & x+bt-bz-i y\\
x+bt-bz+i y & t-z \\
\end{pmatrix}\\
x \a x+bt-bz\\
y \a y\\
t \a bx+(1+\frac{b^2}{2})t - \frac{b^2}{2} z\\
z \a \frac{b^2}{2} t+(1-\frac{b^2}{2})z+b x
$$
Por lo tanto, actúa en funciones en $\mathbb{R}^{1,3}$ al actuar sobre el espacio subyacente. De modo que la función del espacio es una representación de esta $P_b$ grupo. Podemos tratar de descomponer, por parte de los personajes.
Recordar la costumbre de transformada de Fourier. Usted tiene la traducción de acción $x \to x+a$ y los personajes de los que son las funciones $e^{ipx}$, con lo cual se obtiene la función de descomponer. Son vectores propios con autovalor $e^{ipa}$ bajo esta transformación.
Así que toma la fórmula para $P_b Q P_b^\dagger$, y encontrar los análogos de $e^{i p x}$.
Ver la parte de la wiki en parabólico transformaciones. En particular, el tipo de funciones que son invariantes bajo este grupo se le da. Aquellas con autovalor $0$, por lo que reemplazar ese procedimiento con otros valores propios.
Pero se puede ver que a diferencia de una simple traducción y la transformada de Fourier, esto no es tan intuitiva de una transformación. Allí los dos lados estaban posición de las traducciones y el impulso fácilmente interpretados. Aquí en uno de los lados es explícito combinación de rotaciones y mejoras. Enviar $b \to \epsilon$, si desea que el infinitesimal de transformación para escribir el análogo de la $\frac{d}{dx} f = ip f$. El otro lado es el correspondiente conservadas de carga para que el 1-grupo de parámetros.
El $U(1)$ QED grupo es un grupo independiente. Que se refiere a una simetría interna no es una simetría del espacio-tiempo. $\psi (t,x,y,z) \to e^{i \theta} \psi (t,x,y,z)$. $(t,x,y,z)$ no cambian. Que abelian grupo de no mover los puntos de todo, este grupo abelian.
Por un principio de incertidumbre, sólo necesita dos operadores que no conmutan actuando en su espacio de Hilbert. Pero el espacio de Hilbert es algo que debe ser asignado a un timelike sector. Esta es la mezcla de diferentes sectores.
