Observación

Question

<blockquote> <p>Encontrar la suma de %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Traté de convertir todo en $$\sum_{r=1}^{n}{\cot{}^{ - 1}(3r^2-\frac{5}{12})}$ usando $\tan {}^{ - 1}(x) $ y luego trató de simplificarlas usando propiedad $\cot {}^{ - 1} (x) = { \tan {}^{ - 1} ( \frac{1}{x} ) }$ para que algunos términos cancelan mutuamente.</p> <p>Pero no llego a simplificar el problema. ¿Qué hacer?</p>

Answer 1

Después de la corrección de la muestra $\frac{5}{12}$ en el cuerpo de la pregunta, la suma llega a ser bastante simple.

Que $a_{\pm} = 3(r\pm \frac12)$, aviso

$\frac{a+ - a-} {1 + a + a-} = \frac{3}{1 + 9(r^2-\frac14)} = \frac{12}{36r^2 - 5} = \left (3r ^ 2 - \frac{5}{12}\right)^{-1}$$ tenemos $$ \begin{align}\cot^{-1}\left(3r^2 - \frac{5}{12}\right) &= \tan^{-1}\left(\frac{a+ - a-}{1 + a+a-}\right) = \tan^{-1}a+ - \tan^{-1}a-\ &= \tan^{-1}(3(r + \frac12)) - \tan^{-1}(3(r - \frac12)) \end{Alinee el} $$ la nueva suma es telescópico y \sum_{r=1}^n \cot^{-1}\left(3r^2-\frac{5}{12}\right) $$ = \tan^{-1} () 3 (n + \frac12)) - \tan^{-1}(\frac32)$ $

Answer 2

Con ayuda de CAS tenemos:

$$\sum {r=1}^n \cot ^{-1}\left(3 r^2-\frac{5}{12}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{2}{6 n+3}\right)$$ Mathematica code: FullSimplify[Integrate[Sum[D[ArcCot[Ar^2 - 5/12], A], {r, 1, n}] // Normal, A] /. A -> 3, n > 0] ( Luckily, in this case intergration constant C = 0 ) (ArcTan[2/3] - ArcTan[2/(3 + 6 n)] *) By the way, we can still find Sum at n=Infinity $$\sum {r=1}^{\infty } \cot ^{-1}\left(3 r^2-\frac{5}{12}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx 0.588003$$