Una desigualdad integral relativa a las composiciones

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ a $C^1$ función de clase con $0 < f'(t) \leq 1$ para todos $t \in [0,1]$ y $f(0)=0$ demostrar que $$\left(\int_{0}^{1} f(t) dt\right)^2 \geq \int_{0}^{1} f^3(t) dt, $$ donde $f^3=f\circ f\circ f$ .

Mi intento: Traté de usar Cauchy-Schwarz, Integración por Partes, Teorema del Valor Medio para Integrales y no fui capaz de conectar los puntos. Luego, después de un tiempo, pienso que si uso la función identidad tendré una contradicción. Así que ahora no sé si esta afirmación es correcta o no. Agradezco cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Creo que la pregunta no era sobre la composición de la función porque entonces $f(x)=x$ es una contrapartida. Sin embargo, se mantiene cuando se asume que es una tercera potencia:

Observe que $f$ está aumentando en $[0,1]$ (ya que $f'>0$ ) y $f(0)=0$ así $f(x)\geq{}0,\forall{}x\in{}[0,1]$ . Establecer $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ entonces si $h(x)=F^2(x)-\int_0^xf^3(t)dt$ tenemos $h'(x)=2f(x)F(x)-f^3(x)=f(x)(2F(x)-f^2(x))$ . Ahora, establezca $g(x)=2F(x)-f^2(x)$ entonces $g(0)=0$ y $g'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))\geq{}0,\forall{}x\in{}[0,1]$ y por lo tanto $g(x)\geq{}0,\forall{}x\in{}[0,1]$ . Ahora $h'(x)=f(x)g(x)\geq{0},\forall{}x\in{}[0,1]$ y por lo tanto desde $h(0)=0$ y $h$ es creciente tenemos $h(1)\geq{}h(0)=0$ .