Importancia de los ejercicios de matemáticas para el autoaprendizaje

Question

Soy un estudiante de bachillerato que quiere especializarse en Matemáticas en el futuro. Me empezaron a gustar las matemáticas hace poco, desde hace un año, y vi algunos vídeos interesantes de matemáticas en YouTube por diversión (por ejemplo: Historia de las Matemáticas Prof. Wildberger, Introducción al Análisis Real Prof. Su, Álgebra Lineal MIT, Cálculo Multivariable Prof. Shifrin) y estuve estudiando estos temas/sujetos sólo a partir de vídeos. Sin embargo, todavía tengo que terminar los vídeos de Álgebra Lineal.

Aunque ver vídeos no era muy profundo ni riguroso, me divertía y eso era lo único que importaba hasta hace poco. Recientemente, obtuve el carné de la biblioteca de la universidad local para poder acceder realmente a los libros de texto en lugar de tomar la información únicamente de las clases en vídeo. Así que tomé prestados Principios de Análisis Matemático de Rudin, Análisis en Múltiples de Munkres, Álgebra Lineal de Lang y Temas de Álgebra de Herstein para las asignaturas que estaba estudiando a través de vídeos, de modo que pudiera tener algo de madurez matemática y habilidades de resolución de problemas de las que actualmente carezco.

El problema que tengo es que estoy acostumbrado a que los profesores salgan en pantalla resolviendo problemas y demostrando las pruebas por mí :( Así que me resulta difícil hacer los ejercicios por mí mismo o demostrar los teoremas por mí mismo. Incluso siendo un novato sin mucha experiencia en Matemáticas, me parece que tengo muchas carencias, ya que ni siquiera puedo hacer los ejercicios de los libros de texto. No esperaba/planeaba que esto ocurriera porque supuse falsamente que ver las videoconferencias aumentaría mi comprensión de los conceptos de las Matemáticas y mi madurez matemática.

Cuando leo los libros de texto (no he llegado muy lejos en ninguno de los textos, sólo algunos capítulos), leo cada palabra pero no hago los ejercicios. Cuando el autor va demostrando algún resultado paso a paso, lo disfruto porque suelo seguirlo y me parece muy limpio y lógico y cuando leo las ideas del autor o la información de fondo, eso también me interesa. Aunque la lectura de estos libros es divertida y entretenida, sólo lo es porque me salto los ejercicios; leo los ejercicios, pienso en cómo resolverlos, y si se me ocurre una idea, me la paso diciendo que es obvia pero nunca la escribo con papel y bolígrafo y cuando lo hago, aunque la idea está ahí, no puedo formularla bien. Y las cuestiones que no tengo una idea de cómo abordar, también las omito.

Así que básicamente leo pero me salto todos los problemas que sé que no me benefician. Después de un mes o dos de casi ningún progreso con la resolución de ejercicios, me molesta porque siento que no estoy llegando a ninguna parte y leer más parece inútil sin entender cómo hacer las preguntas de los capítulos anteriores, ya que se siente como si no hubiera aprendido/conseguido los fundamentos correctamente. Me frustra y a veces ni siquiera la lectura de los libros me interesa.

¿Existe una forma sistemática de solucionar este problema? Además, sigo racionalizando mis acciones de no hacer los ejercicios diciéndome a mí mismo que tendré que aprender estos temas / asignaturas de nuevo cuando entre en la universidad, así que puedo relajarme por ahora y sólo leer los materiales / conceptos sin resolver los problemas. Sin embargo, me parece muy mal no hacer los ejercicios porque entonces no estoy aprendiendo realmente a hacer matemáticas, sólo estoy recitando información y conceptos. Si alguien tiene algún consejo, le agradecería mucho que lo comentara. Me interesa saber los métodos para hacer ejercicios y formular soluciones sin saltárselos todos. También quiero las soluciones de los ejercicios pero hay una falta de soluciones de estos libros que tampoco me sirve. También tengo curiosidad por saber cuántos ejercicios debo hacer del libro. ¿Debo hacerlos todos, la mayoría o algunos? Muchas gracias. Probablemente quiera hacer de esto una comunidad-wiki pero no sé cómo hacerlo.

P.D. ¿Importa el tiempo que dedique a estudiar al día si quiero tener éxito? ¿Hay o debería haber una cantidad mínima de tiempo que dedique al día para estudiar Matemáticas? Sé que esto es personal y puede depender de diferentes personas, pero sólo tenía curiosidad. Me gustaría pasar 2~3 horas haciendo Matemáticas cada día pero parece que mucha gente pasa más tiempo y es más dedicada. Si esta posdata te parece inútil, ignórala porque me interesa más la pregunta principal.

Answer 1

Sinceramente, en la mayoría de los casos puedes incluso saltarte la lectura de la mayor parte del libro. Los problemas son millones de veces más importantes.

Cuando recibas un libro nuevo, ni siquiera lo leas. No importa. Ve directamente a los problemas, saltándote todo lo que hay en el libro. Ni siquiera mires los títulos de los capítulos. Ve directamente al primer problema. Obviamente, el problema probablemente no tendrá sentido para ti. Entonces vuelve atrás y busca brevemente la información suficiente para hacer el problema. ¿Qué significa ___? ¿Qué teoremas parecen relevantes? ¿Hay problemas de ejemplo similares a tu problema? Después de hacer unos cuantos problemas, tal vez leas un poco más si es interesante y para tener una idea más general de lo que ocurre. Pero los problemas siempre deberían ser tu prioridad número 1.

En su mayor parte, aparte de leer los principales teoremas y definiciones, y tal vez un par de problemas de ejemplo, leer la prosa de un texto es una pérdida de tiempo y no es tan útil. Puede que esto no te parezca gran cosa ahora, pero cuando tu tiempo deje de ser tan libre importará mucho.

Editar, no me refiero a no leer el libro. Sólo ir a los problemas PRIMERO. Los problemas deberían ser siempre lo primero que se mira en un libro de texto. Luego lee el libro con el propósito de resolver esos problemas. Si estás leyendo el libro sólo por leer el libro, estás perdiendo mucho tiempo.

Answer 2

En el aprendizaje hay dos objetivos, uno es la obtención de conocimientos y el otro la obtención de habilidades.

• Tener conocimientos sin habilidad significa que puedes hablar de ello, pero cuando llega el momento de actuar, te faltan las herramientas para producir resultados.

• Tener habilidad sin conocimientos significa que, en general, puedes producir resultados, pero tu limitada comprensión del mundo te hace confiar en el ensayo y error, o te hace desconocer técnicas más adecuadas para la tarea en cuestión.

Considera la posibilidad de construir una mesa.

• Una persona con conocimientos podría saber cómo calcular la flecha de un mesa, pero carece de la capacidad de construir una. Para ello, debe aprender sobre la selección de la madera, el uso seguro de las herramientas de taller, etc.
• Una persona experta puede construir una mesa, y quizás en la construcción descubrir que su mesa se hunde de forma inaceptable, lo que le obliga a añadir elementos de refuerzo. No sabrá cuánto o poco añadir, y en algunas circunstancias (mesas extremadamente largas), sus intentos iniciales de añadir elementos de refuerzo, lo que puede agravar el problema.

Los conocimientos adecuados pueden ahorrarte mucho esfuerzo, pero no pueden hacerte aprender los patrones necesarios para hacer las cosas. Ser capaz de hacer cosas es bueno, pero si te falta estudio, tendrás que aprenderlo todo por las malas (y sólo hay un tiempo en el planeta para hacerlo).

Así que creo que estás haciendo un buen trabajo para ampliar tus conocimientos de matemáticas, pero parece que necesitas sentarte y hacer los problemas "suficientes" para desarrollar tus habilidades.

Por cierto, revisar tu trabajo también es una habilidad, y como no tienes un profesor que te califique, parece que vas a desarrollar esa habilidad pronto (lo cual es muy bueno).

Answer 3

Como contrapartida a otras respuestas, pienso en las matemáticas como una especie de lenguaje que hay que aprender. Se puede medir el dominio del lenguaje mediante comprensión de , hablar y escribir . Leer libros no es en absoluto una pérdida de tiempo, ya que si puedes seguir lo que dice, estás mejorando tu capacidad de comprensión y, con suerte, por extensión, de hablar y escribir en algún momento. Una forma de medir tu progreso es ver si eres capaz de escribir un tratamiento completo de algún teorema clave. Una parte de la competencia matemática que no se tiene en cuenta es la capacidad de pronunciar expresiones matemáticas gramaticalmente correctas.

Pero: lo que pasa con las matemáticas es que no puedes entender del todo de qué tratan hasta que te enfrentas a los problemas. La forma de las matemáticas (las definiciones, los teoremas, etc.) se deriva de la función de las matemáticas (la resolución de problemas). Verás qué cuestiones se plantean cuando resuelves un problema, y adquirirás una apreciación de la estructura establecida por el autor del libro de texto. También verá lo que no es en el libro de texto. Los autores de los libros de texto de matemáticas tienden a dejarle a usted la tarea de averiguar qué es todo eso para . A veces los autores son perezosos a la hora de construir buenos ejercicios, ¡y te toca a ti idear los tuyos!

Las matemáticas se diferencian de los lenguajes habituales en que los objetos de los que hablan no son los objetos familiares de todos los días, como las manzanas o las sillas. Un libro de texto de matemáticas es como una visita guiada en la que el guía señala objetos y hechos en una ruta fija. ¿Se puede entender realmente una manzana sin cogerla, darle la vuelta, abrirla o probarla?

Encontré el de Liebeck Una introducción concisa a las matemáticas puras útil para ver una sección transversal de problemas de varios campos. Además, no te preocupes si tardas días en resolver un problema (yo he pasado semanas en muchos). Echa un vistazo a Polya's Cómo solucionarlo para ver un montón de preguntas heurísticas que puedes hacerte cuando te atasques. Una vez oí algo así como "el estado más feliz de un matemático es la confusión".

Cosas que hay que tener en cuenta al leer un texto matemático:

• Para una definición, ¿cuáles son los ejemplos, los no-ejemplos, las gotas?
• Para un teorema, ¿son necesarias las hipótesis, se pueden reforzar? ¿Existe algún caso especial interesante del teorema? (Los textos de matemáticas tienden a buscar la máxima generalidad en la teoría para que puedas averiguar los detalles). ¿Puedes proponer una demostración diferente del teorema?
• Después de resolver un ejercicio, ¿qué ejercicios relacionados podrían ser interesantes? ¿Qué conocimientos has necesitado para resolverlo? ¿Puedes convertirlo en un teorema más general?

Answer 4

Los problemas son lo más importante. Las matemáticas son un arte práctico como la música, la gimnasia o la lucha libre. Necesitas algo de "memoria muscular" (casi no bromeo con esto) junto con la teoría. De hecho, puede ser más fácil pensar en la teoría si tienes toda la mecánica en frío.

Intentaría hacer más ejercicios. Si son demasiado difíciles, haz hincapié en los más fáciles al principio del capítulo. Hacerlos normalmente te ayudará a adquirir destreza para que seas capaz de realizar los más difíciles, más adelante. Trata de elegir libros en los que tengas respuestas a los ejercicios para que tengas alguna retroalimentación. Hay una razón por la que los videojuegos son adictivos. Retroalimentación y progresión. Necesitas un poco de eso en tu estudio de las matemáticas.