Regla BAC─CAB utilizada en los operadores del

Question

En mi libro de texto, se dice que $\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A $

Entonces, pensé que del se puede tratar como si fuera un vector (aunque sea un operador). Sin embargo, Al resolver $\nabla\times (k\times r)$ donde $r= x \hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} $ los resultados que obtuve al utilizar la regla BAC CAB (mientras trataba $\nabla$ como constante) fue diferente de los resultados obtenidos al hacerlo en el orden normal.

¿Por qué es así? ¿Se debe a que, como $\nabla$ es un "operador", no se puede utilizar como un vector, y por lo tanto no se puede utilizar la regla BAC CAB? Pero en el libro de texto, utiliza la regla BAC CAB como lo siguiente: $$\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2A $$

Entonces, ¿significa esto que la derivación del libro de texto de $\nabla\times(\nabla\times A)$ era incorrecta, y debería utilizar la definición de productos cruzados de Levi-Civita?

En resumen, mi pregunta es: ¿cuándo es seguro considerar $\nabla$ como un vector?

Answer 1

En la medida en que la regla BAC─CAB tiene sentido para $\nabla\times(\nabla \times\vec A)$ Sí que se mantiene. En particular, si se mira en notación de componentes, es decir, si se compara la regla BAC─CAB $$ \left[ \vec a \times(\vec b\times \vec c)\right ]_i = b_i \,c_j a_j - c_i b_j a_j $$ con el doble rizo, $$ \left[ \nabla\times(\nabla \times\vec A) \right]_i = \partial_i(\partial_j A_j) - \partial_i \partial_i A_j, $$ donde he utilizado Sumas de Einstein y las derivadas parciales simplificadas a $\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ Entonces se obtiene exactamente la misma estructura.

La única diferencia ahora es que hay que tener mucho cuidado con la colocación de las cosas: donde antes se podían colocar los números reales $a_i$ , $b_j$ y $c_k$ en el orden que quieras, tienes que tener todos los $\partial_i$ 's antes de la $A_j$ para que la expresión tenga sentido. Sin embargo, una vez que lo haces, todo funciona como se espera.

Por otro lado, es importante señalar que el $\nabla$ sigue siendo un operador, y que las identidades del cálculo vectorial deben nunca se supone que se mantiene sin una confirmación específica. (Como ejemplo, la regla BAC─CAB definitivamente no se cumple para $\nabla \times (\vec A \times \vec B)$ ; en cambio, una versión de la misma sí se mantiene, pero hay que incluir dos copias, una con las derivadas que actúan sobre $\vec A$ y una con las derivadas que actúan sobre $\vec B$ .)

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En general, lo más fácil es trabajar en notación de componentes. En este caso, por ejemplo, yo diría que la instanciación "verdadera" (o, al menos, la más útil) de la regla BAC─CAB es la identidad (bastante trivial*) $$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} $$ entre el Símbolo de Levi-Civita y el Delta de Kronecker . ¿Por qué? porque el tensor de Levi-Civita es el núcleo de ambos productos cruzados $$ \left[ \vec a \times \vec b \right]_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k $$ así como los rizos, $$ \left[ \nabla \times \vec A \right]_i = \epsilon_{ijk} \partial_j A_k, $$ por lo que el lado izquierdo de $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}$ le da una concatenación de dos objetos de producto cruzado, mientras que el lado derecho tiene dos contracciones: una de las cuales se convierte en un producto interno y la otra transfiere un índice interno a la consulta externa $i$ . Además, esto hace que sea extremadamente sencillo trabajar con el álgebra tensorial, independientemente de si se trata de simples vectores o de una identidad de cálculo más complicada: así, para el doble rizo se obtiene \begin {align} \left [ \nabla\times ( \nabla \times\vec A) \right ]_i & = \epsilon_ {ijk} \partial_j \left [ \nabla \times\vec A \right ]_k \\ & = \epsilon_ {ijk} \epsilon_ {klm} \partial_j \partial_l A_m \\ & = ( \delta_ {il} \delta_ {jm} - \delta_ {im} \delta_ {jl}) \partial_j \partial_l A_m \\ & = \partial_j\partial_i A_j - \partial_j \partial_j A_i \\ & = \partial_i ( \partial_j A_j) - \partial_j \partial_j A_i \\ & = \left [ \nabla ( \nabla \cdot \vec A) - \nabla ^2 \vec A \right ]_i \end {alinear} como de costumbre, pero para el rizo de un producto cruzado permite hacer prácticamente lo mismo, mientras que sigue dejando claro, en la etapa \begin {align} \left [ \nabla\times ( \vec A \times\vec B) \right ]_i & = \epsilon_ {ijk} \partial_j \left [ \vec A \times\vec B \right ]_k \\ & = \epsilon_ {ijk} \epsilon_ {klm} \partial_j \left [ A_l B_m \right ] \end {align} que la derivada parcial tiene que actuar de una manera similar a la regla del producto para dar $$ \partial_j \left[ A_l B_m \right] = B_m \, \partial_j A_l + A_l \, \partial_j B_m, $$ un producto que luego puede introducirse en el resto del cálculo.

Esperemos que esto ayude a conceptualizar el resultado y a situarlo dentro de un contexto más coherente.

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* ¿Por qué trivial? Porque las combinaciones que contribuyen al símbolo de Levi-Civita con peso no nulo son muy restringidas. Básicamente, para $\epsilon_{ijk}$ para contar en absoluto, necesitas $i\neq j$ y que arregla $k$ para ser lo que sea $i$ y $j$ no lo son, es decir, si $i=1$ y $j=2$ entonces el único $k$ que sobrevive a la suma es $k=3$ . Entonces, para hacer el producto, primero se utiliza la propiedad cíclica en el segundo término, $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}$ y como $k$ es ahora fijo, el conjunto $\{l,m\}$ tiene que ser el mismo que $\{i,j\}$ y esto sólo puede ocurrir (a) si $i=l$ y $j=m$ , en cuyo caso $\epsilon_{ijk}$ y $\epsilon_{klm}$ tienen signos coincidentes, o (b) si los pares $(i,j)$ y $(l,m)$ se intercambian, en cuyo caso se acumula un signo menos. Esta línea de pensamiento es suficiente para reconstruir la forma completa de la identidad del símbolo simplemente haciendo coincidir los índices en $\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}$ .

Answer 2

Es seguro siempre que se tenga cuidado de seguir los términos de cada $\nabla$ actúa. En la práctica, a menudo es mejor trabajar en componentes para derivar estas identidades, ya que así se puede hacer un seguimiento manual. Si se insiste en hacerlo en forma vectorial, puede ser útil anotar con flechas los factores que el $\nabla$ y, a continuación, se calculan los términos en los que el operador actúa sobre varios factores mediante la regla del producto.

Por ejemplo: \begin {align*} \nabla \times ( \vec a \times \vec b) &= \overset { \downarrow }{ \vec a}( \nabla \cdot \overset { \downarrow }{ \vec b}) - \overset { \downarrow }{ \vec b} ( \nabla \cdot \overset { \downarrow }{ \vec a}) \\ &= ( \vec b \cdot \nabla ) \overset { \downarrow }{ \vec a} + \vec a ( \nabla \cdot \overset { \downarrow }{ \vec b}) - ( \vec a \cdot \nabla ) \overset { \downarrow }{ \vec b} - \vec b( \nabla \cdot \overset { \downarrow }{ \vec a}). \end {align*} En el resultado final podemos simplemente omitir las flechas ya que los factores sobre los que actúa el operador son exactamente aquellos sobre los que actúa según las reglas estándar.

Expansión como respuesta a un comentario:

Actuar sobre significa que la diferenciación dentro de ese operador se aplica a esa función. Por ejemplo, en $\partial_x (ab)$ el operador actúa sobre a y b mientras que en $a\partial_x b$ el operador sólo actúa sobre $b$ (es decir, la derivada sólo se toma para las ocurrencias de $x$ en $b$ no para los que están en $a$ ). La notación en forma de flecha ayuda a escribir los términos en los que el operador no actúa (o no sólo) sobre los factores situados a su derecha.

En el término original $\nabla \times (\vec a \times \vec b)$ ambos $\vec a$ y $\vec b$ son factores a la derecha del operador diferencial, por lo que éste actúa sobre ambos (ya que ésta es la convención habitual). En nuestra notación de flechas podemos hacer esto explícito: $\nabla \times (\overset{\downarrow}{\vec a} \times \overset{\downarrow}{\vec b})$ . Cuando luego usemos las reglas del álgebra vectorial para manipular la expresión, no debemos cambiar los factores sobre los que actúa nuestro operador. Las manipulaciones vectoriales y las aplicaciones de los operadores son en este sentido independientes, esto se puede motivar mirando el cálculo en componentes. Si durante la manipulación vectorial aparecen varios términos, entonces en cada término el operador debe seguir aplicándose a todas las funciones marcadas con una flecha en el término original. Después de una manipulación del álgebra vectorial las ocurrencias ya no están necesariamente ordenadas correctamente para mostrar dónde actúa la diferenciación sin las flechas, por lo que tenemos que reordenar los factores para restaurar las convenciones (y usar la regla del producto cuando sea necesario).