¿Por qué es importante el derivado?

Question

Derivados, tanto ordinarias como parciales, aparecen a menudo en mis cursos de matemáticas. Sin embargo, a mis profesores nunca han dado un buen ejemplo de por qué la derivada es útil. Mis preguntas:

1. Aparte de la habitual instantánea de la tasa de cambio, ¿cuáles son algunos de los usos comunes de la derivada?

2. Lo que hace la derivada parcial decirnos? ¿Y qué hace el total de derivados decirnos?

Me parece que muchas veces, la derivada se explica simplemente como "la tasa instantánea de cambio".

Estoy pensando en cambiar mi mayor, debido a que las aplicaciones de las matemáticas en el nivel elemental parecen triviales, cuando los profesores sólo empujar los símbolos y no tienen ningún mundo real motivación incluido en sus clases.

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P. S. Esta pregunta es no un duplicado de por Qué se diferencian? Yo no quiero saber por qué nos diferencian. Quiero saber por qué es importante más allá de nuestro pregrado de aprendizaje. ¿Cuáles son las aplicaciones más allá de Cálculo 3? Más allá de la academia, lo que hace que la derivada importante en situaciones complejas?

Answer 1

La derivada tiene muchas aplicaciones importantes, tanto de primaria cálculo, cálculo multivariable, y mucho más allá.

La derivada explique la tasa instantánea de cambio, pero además de los derivados puede decir la aceleración, entre otras cosas.

Con la optimización, la derivada nos puede decir cuál es el mejor lugar para sentarse en una habitación, si la habitación se llena de humo, y a que hora es la mejor para sentarse allí. La derivada puede ayudar con muchos problemas de optimización.

La derivada parcial nos dice la dirección de las variables en un tiempo determinado y el total de la derivada nos dice donde la pendiente aumenta más y donde. Esta es una manera en que podemos optimizar en $\mathbb{R}^3$. La derivada puede ser aplicado para el flujo de agua y en general nos dice mucho acerca de cómo las cosas cambian con respecto a la otra variable.

El derivado más puede ayudar a la industria en la economía, el cuidado de la salud, ingeniería (especialmente), y muchas otras cosas. El negocio tiene muchas aplicaciones. Su profesor puede no tener tiempo para ahondar en estas aplicaciones como a usted le gusta porque es un cálculo de clase, no de una "aplicación de la derivada" de la clase. Aunque, se debe sin duda a discutir estos temas en algún momento. He tenido algunos profesores en mi tiempo que restó importancia a estos temas, pero en cálculo multivariable, que van mucho más en profundidad con ellos. No sugiero el cambio de su importante sin hablar directamente con su profesor acerca de sus dificultades.

Si usted tiene más preguntas, me animo a preguntar a su profesor en horario de oficina, exactamente la misma pregunta y expresar sus preocupaciones allí. Un buen profesor para estimular y motivar su aprendizaje fuera del aula si mostrar iniciativa y preguntar.

Answer 2

Me voy a tomar matices diferentes que la mayoría de las otras respuestas aquí y señalar que "lo importante" (la palabra que se usa en el título de la pregunta) y "útil" (la palabra que se usa en el cuerpo) no son exactamente sinónimos. Algo que puede ser importante en diferentes formas:

• Puede ser importante, ya que es útil para resolver problemas del mundo real, los problemas prácticos
• Puede ser importante, ya que es útil para resolver problemas teóricos, no problemas aplicados
• Puede ser importante para el histórico razones
• Puede ser importante, ya que es sorprendente o en contra de la intuición
• Puede ser importante porque arroja luz sobre un misterio

Muchas de estas se pueden resumir diciendo que algo es "muy interesante". Creo que de "interesante" y "útil" como ejes ortogonales de valor, en el sentido de que son dos completamente independiente maneras de decir por qué algo es que vale la pena conocer.

La mayoría de los matemáticos, me atrevería a decir, están motivados por otras cosas que no sean "aplicaciones prácticas". (Algunos incluso activamente el desprecio de las aplicaciones, aunque no me vaya tan lejos.) Según la tradición, cuando Euclides se le preguntó "¿por Qué es útil?", él respondió sarcásticamente

"Hay que darle threepence [lit: tres obol pieza], ya que él debe hacer ganar fuera de lo que aprende."

La derivada -- y el cálculo, en general-es importante e interesante en muchos sentidos, muy aparte de las aplicaciones prácticas (que, hay que decirlo, son muy abundantes). Desde los días de los antiguos Griegos de la época de Newton y Leibniz, los filósofos tenido dificultades para entender la naturaleza del movimiento en sí, que muchos de ellos consideraban como fundamentalmente paradójico: si, en cualquier momento dado, cero que pasa el tiempo, y por lo tanto en cualquier momento la posición de un objeto no cambia -- ¿cómo es posible el movimiento? De manera más general, ¿cómo podemos obtener la experiencia de suave y continuo cambio a partir de una secuencia de un número infinito de puntos distintos en el tiempo? (La versión geométrica de esto es: si un punto tiene tamaño cero, y una línea es un conjunto de puntos, ¿cómo las líneas de tamaño?)

Las personas tienen el pensamiento de estas preguntas tan interesantes para los siglos porque ellos son la cabeza-scratchers. Se lleva a reflexionar sobre la infinidad, de lo infinitamente pequeño, y las formas en que los infinitos puede equilibrar los unos a los otros para producir cantidades finitas. Eso es genial, y el Cálculo proporciona un conjunto de técnicas para averiguar lo que ocurría, y un lenguaje para hablar de ello de forma coherente.

Una vez que formalizar, derivados también permiten descubrir las cosas que son realmente sorprendentes, por ejemplo, que es posible tener una curva que es continua en todas partes, pero no diferenciable en cualquier lugar. (Ese comentario no tiene sentido sin derivados, pero si usted entiende derivados usted puede comenzar a apreciar cómo absolutamente desconcertante y nonintuitive tal cosa debe ser.) La capacidad de sorprenderse y de la capacidad de contemplar el infinito son parte de nuestro sentido de la maravilla, y los componentes esenciales del ser humano. Yo diría que es bastante importante, si es o no es "útil".

Answer 3

El derivado local mide una función de cuánto extiende su dominio en un punto. Si es negativo, hay estiramiento y cambio de dirección.

Answer 4

¿Alguna vez has recibió una multa por exceso de velocidad? Si sí, sus derivados fue superior a la legalmente permitida.

Derivado se utiliza para encontrar la tasa de cambio, la pendiente de la tangente, el beneficio marginal, costo marginal, ingreso marginal, aproximaciones lineales, series infinitas representación de funciones, problemas de optimización, y muchas aplicaciones más.

Derivadas parciales, derivadas direccionales, el total de los derivados de los conceptos de cálculo multivariable y se utilizan en la optimización y la linealización de funciones multivariables.

Answer 5

Me esperan un montón de excelentes respuestas a esta pregunta. Voy a meter la cuchara con sólo uno de los aspectos interesantes de la derivada, que se hizo evidente para mí relativamente tarde en el estudio del cálculo.

Cuando la derivada es $0$, generalmente en una especie de punto extremal. Máximo, mínimo, óptimo. Usted está en la parte superior de la colina, usted tiene la cartera óptima, el puente está parado y el chi está en equilibrio. Es a menudo el punto de detención de la búsqueda, ya sea porque has encontrado lo que quería, o porque no tienen (obvio) dirección ir.

Cuando el derivado no $0$, usted tiene un "espacio", y el material se comporta de manera "normal". Si usted está buscando algo, tiene una clara dirección a tomar. Sobre todo, si su derivada es no $0$, su función es localmente invertible, y todo tipo de cosas a ser posible -- muchos de los teoremas tienen "la derivada (o sus multidimensional equivalente, el jacobiano del determinante) no es $0$ en su punto de interés" en sus hipótesis exactamente por esta razón.

Los problemas suelen surgir cuando la derivada (o sus multidimensional equivalente, el jacobiano del determinante) está en algún lugar en el medio: muy pequeño, pero no es $0$. Estas son situaciones que muchos de los matemáticos detesto, porque usted no está en el final de su viaje, pero tiene muy poco espacio o la claridad de dirección a la izquierda. Imperceptible de las perturbaciones pueden crear un montón de problemas. Usted oirá a menudo el término "mal condicionado" en estos casos, y un problema recurrente es decidir cuando su derivada es lo suficientemente cerca como para $0$ que puede ser tratada como $0$.