Estoy luchando con el siguiente problema: Supongamos $$\frac{\pi_p}{2}=\int_0^1\frac{1}{(1-s^p)^{1/p}}ds$$
donde $p\in (1,\infty)$. Definir $\operatorname{sin_p}:[0,\pi_p/2]\to [0,1]$ $$x=\int_0^{\operatorname{sin_p}(x)}\frac{1}{(1-s^p)^{1/p}}ds$$
Tenga en cuenta que $$\left(\frac{d}{dx}\operatorname{sin_p}(x)\right)^p=1-(\operatorname{sin_p}(x))^p$$
Definir $\frac{d}{dx}\operatorname{sin_p}(x)=\operatorname{cos_p}(x)$. Estoy tratando de demostrar que $$\frac{4(2\pi_p)^{-1}}{p^{-1}}\int_0^{\pi_p/2}(\operatorname{sin_p}(x))^pdx=1$$
Si $p=2$ tenemos la costumbre $\sin $ función y para esta función, la técnica que yo uso para resolver la última integral es considerar la relación $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$. Traté de demostrar un hecho análogo para el caso de $p\neq 2$, pero luego descubrí que la derivada de $\operatorname{cos_p}(x)$ no es un múltiplo de a $\sin_p(x)$. Ahora estoy atascado.
Actualización: Si hacemos el cambio de variables $x=\operatorname{arcsin_p}(y^{1/p})$ donde $\operatorname{arcsin_p}$ es la inversa de a $\operatorname{sin_p}$ a continuación se obtienen $$\int_0^{\pi_p/2}(\sin_p(x))^p dx=\frac{1}{p}\int_0^1 \frac{y^{1/p}}{(1-y)^{1/p}}dy$$
Mathematica devuelve el resultado deseado, sin embargo, ¿cómo puedo integrar a mano?
Cualquier idea se agradece.
