Problema con el seno en un triángulo rectángulo

Question

Dado un triángulo $ABC$ con ángulos a, b y c, prueba que si $\sin^2(a) + \sin^2(b) + \sin^2(c) = 2$ entonces el triángulo es rectángulo (tiene un ángulo de $90^o$).

Si asumo que el triángulo es rectángulo y tiene AB, AC y BC como lados, con BC como la base, entonces puedo decir que la afirmación es verdadera, ya que $\sin^2(a)$ sería 1 donde $a=90^o$.

Además, como es un triángulo rectángulo, podemos decir que $\sin^2(b) = AC^2/BC^2$ y $\sin^2(c) = AB^2/BC^2$. La suma de $\sin^2(b) + \sin^2(c)$ sería igual a $(AC^2+AB^2)/BC^2$, que es 1 (teorema de Pitágoras). Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los senos de los 3 ángulos es realmente 2.

Pero, ¿cómo puedo probar esto? Es decir, solo se me da la ecuación inicial, ¿cómo llego de ahí a un triángulo rectángulo?

Answer 1

Tenemos: $$\sin^2 A + \sin^2 B+\sin^2 C = 3-\sum_{cic}\cos^2 A =\frac{1}{2}\left(3-\sum_{cic}\cos(2A)\right)$$ por lo tanto $LHS=2$ es equivalente a $\sum_{cic}\cos(2A)=-1$ o a: $$ \cos^2 A+\cos(B+C)\cos(B-C) = 0 \tag{1}$$ pero dado que $A+B+C=\pi$, $\cos(B+C)=\cos(\pi-A)=-\cos(A)$ y la línea anterior es equivalente a: $$ \cos(A)=\cos(B-C)\quad\text{ó}\quad \cos(A)=0,\tag{2} $$ así que $A=\frac{\pi}{2}$ ó: $$ -\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C) = \cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\tag{3}$$ que da $\cos(B)\cos(C)=0$.

Answer 2

Observa, en $\Delta ABC$, tenemos $a+b+c=180^o$

Dado que $$\sin^2 a+\sin^2 b+\sin^2 c=2$$ $$\implies \sin^2 a+\sin^2 b+\sin^2 (180^o-(a+b))=2$$ $$\implies \sin^2 a+\sin^2 b+\sin^2 (a+b)=2$$ $$\implies (\sin a\cos b+\cos a\sin b)^2=2-\sin^2 a-\sin^2 b$$ $$\implies \sin^2 a\cos^2 b+\cos^2 a\sin^2 b+2\sin a\sin b\cos a\cos b=\cos^2 a+\cos^2 b$$ $$\implies -(1-\sin^2 a)\cos^2 b-(1-\sin^2 b)\cos^2 a+2\sin a\sin b\cos a\cos b=0$$ $$\implies -\cos^2 a\cos^2 b-\cos^2 a\cos^2 b+2\sin a\sin b\cos a\cos b=0$$ $$\implies -2\cos a\cos b(\cos a\cos b-\sin a\sin b)=0$$ $$\implies \cos a\cos b\cos(a+b)=0$$ $$ \color{blue}{\text{if } \quad \cos a=0 \implies a=90^o}$$ $$ \color{blue}{\text{if } \quad \cos b=0 \implies b=90^o}$$ $$ \color{blue}{\text{if } \quad \cos (a+b)=0 \implies a+b=90^o \iff c=90^o}$$ Concluimos que los tres casos anteriores muestran que $\color{blue}{\Delta ABC}$ es $\color{blue}{\text{rectángulo}}$.

Answer 3

$$F=\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=1-(\cos^2A-\sin^2B)+1-\cos^2C$$

Método $\#1:$

Usando Probar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$,

$$F=2-\cos(A+B)\cos(A-B)-\cos^2C$$

Método $\#2:

Alternativamente usando la fórmula de Doble ángulo y fórmula de Prosthaphaeresis,

$$\sin^2A+\sin^2B=1-\dfrac{\cos2A+\cos2B}2=1-\cos(A+B)\cos(A-B)$$

Ahora $\cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos c$

$\implies F=2-[-\cos C\cos(A-B)+\cos^2C]$

$=2-\cos C[-\cos(A-B)+\cos C]$

$=2-\cos C[-\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ ya que $\cos(A+B)=-\cos c$

$$\implies\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+\cos C[2\cos A\cos B]$$

¿Puedes llegar a casa desde aquí?

Answer 4

$$\sin(a)=\sin(\pi-b-c)=\sin(b+c),$$ Luego, con abreviaturas obvias, $$\begin{align}0&=2-s_a^2-s_b^2-s_c^2\\ &=c_b^2+c_c^2-s_a^2\\ &=c_b^2+c_c^2-(s_a c_b+c_a s_b)^2\\ &=c_b^2+c_c^2-s_b^2c_c^2-2s_b c_b c_c s_c-c_b^2s_c^2\\ &=c_b^2c_c^2+c_b^2c_c^2-2s_b c_b c_c s_c\\ &=2c_b c_c(c_b c_c-s_b s_c)\\ &=2c_bc_cc_{b+c}.\end{align}$$

El producto es nulo con uno de $$b=\frac\pi2,$$ $$c=\frac\pi2,$$ $$b+c=\pi-a=\frac\pi2.$$