Recuerdo un comentario en algún lugar (no recuerdo la fuente de ahora) a lo largo de las líneas que la existencia de un exterior automorphism de $S_6$ es "responsable" para muchos otros más complicado anomalías en la teoría de grupos finitos. Esto incluye los grupos de Mathieu $M_{12}$, $M_{24}$, de los cuales el último es utilizado para construir los Conway grupo $Co_1$, que se utiliza para construir el Monstruo grupo.
Para dar un ejemplo de esto, recordar el hecho de que $M_{24}$ es el grupo de simetría de una $(5,8,24)$ Steiner sistema: una colección de subconjuntos de a $X=\{1,2,\ldots,24\}$ de tamaño 8 (llamado octads) tal que cada subconjunto de $X$ de tamaño 5 se encuentra en un único octad. En este formulario, $M_{24}$ es un subgrupo de $S_{24}$.
Ahora considere la posibilidad de 2 octads $O, O'$ tal que $|O \cap O'| = 2$. (Estos existir debido a la "Sanguijuela triángulo".) Deje $G$ ser el subgrupo $M_{24}$ que corrige (setwise) tanto en$O$$O'$. Podemos demostrar que la acción de la $G$ $X$ se descompone en órbitas de tamaño 6 + 6 + 10 + 2.
Deje $X_1$ $X_2$ ser las dos órbitas de tamaño 6. Mediante la restricción de la acción de la $G$$X_i$, obtenemos homomorphisms $\phi_i : G \to \operatorname{Sym}(X_i)$. Podemos demostrar que el $\phi_i$ son isomorphisms. De este modo obtenemos un mapa de $\operatorname{Sym}(X_1) \to \operatorname{Sym}(X_2)$. Por la elección arbitraria bijection de cada una de las $X_i$$\{1,2,3,4,5,6\}$, a continuación, obtener un mapa de $S_6 \to S_6$, y se puede comprobar que esto le da un exterior automorphism de $S_6$. (Explícita cálculos con $M_{24}$ son (relativamente) fácil de hacer con Conway Milagro Octad Generador.)
Esta construcción también da una transitiva subgrupo de $S_{10}$ isomorfo a $S_6$, que es, probablemente, también anómala.
