Convergencia de $r^n/n$ cuando $|r| > 1$.

Question

Considere la posibilidad de $r\in \mathbb{R}$ y el número real de secuencia $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ donde

$$a_n = \dfrac{r^n}{n}.$$

Si $|r|<1$, sabemos que $r_n\to 0$ al $n\to \infty$. Desde $1/n \to 0$ al $n\to \infty$ por el teorema sobre las secuencias sabemos que desde

$$a_n = \left(\dfrac{1}{n}\right)(r^n),$$

tenemos $a_n\to 0$ al $n\to \infty$.

Si, por otro lado $|r|=1$, luego tenemos

$$\left|a_n\right|=\left|\dfrac{r^n}{n}\right|=\dfrac{1}{n},$$

y así, fácilmente se deduce que $a_n\to 0$ al $n\to \infty$ debido a la arquímedes propiedad de los números reales.

Por último tenemos el caso de $|r| >1$. En este caso estoy teniendo un momento difícil. La intuición me dice que la secuencia se divergen, pero no estoy seguro acerca de cómo probar esto.

Lo que quiero saber es que si $|r|>1$, a continuación, la secuencia de $r^n$ es ilimitado, pero no pude conseguir nada de esto. He intentado, a continuación, considerando en primer lugar el caso de $r >1$ donde sabemos que podemos escribir $r = 1 + h$, de modo que $r^n \geq 1 + nh$$h > 0$, pero esto me hizo nada.

¿Cómo puedo demostrar que $a_n$ diverge al $|r| > 1$? Estoy más interesado aquí en la estrategia y cómo deberíamos pensar acerca de ella en lugar de sólo una solución.

Answer 1

Estrategia: Un término en la serie de falla debido a que crece linealmente. Dos términos crecer cuadráticamente, así que vamos a ello.

Idea General: el crecimiento Exponencial siempre mata polinomio de crecimiento - una manera de ser explícito acerca de esto es ver la serie de Taylor de $e^x$.

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Tomar un término más en la expansión de la serie. Tenga en cuenta que

$$e^{t} \ge 1 + t + \frac{t^2}{2}$$

así que

$$r^n = e^{(\ln r) n} \ge 1 + (\ln r) n + \frac{(\ln r)^2}{2} n^2$$

de modo que $r^n / n$ es ilimitado.

Answer 2

Que estábamos en el camino correcto. Vamos $r=1+\delta$, $\delta>0$. Entonces, desde el teorema binomial, podemos escribir

$$\begin{align} r^n&=(1+\delta)^n\\\\ &=1+n\delta +\frac{n(n-1)}{2}\delta^2+\cdot +\delta^n\\\\ &\ge \frac{n(n-1)}{2}\delta^2 \tag 1 \end{align}$$

Por lo tanto, dividiendo ambos lados de $(1)$ $n$ revela

$$\frac{r^n}{n}\ge \frac12 \delta^2 (n-1)\to \infty \,\,\text{as}\,\,n\to \infty$$

como se esperaba!

Answer 3

Usted puede tomar el límite cuando $n\to\infty$ de los coeficientes \begin{equation} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{r^n}\frac{n}{n+1}=r \end{equation} Así, para la gran $n$, los coeficientes de $a_n$ de la escala como $r^n$, lo que significa que la convergencia de la secuencia original será el mismo que el $a_n=r^n$ de la secuencia.

Answer 4

Sugerencia: $r=1+h$$h>0$, entonces el espectáculo $r^{n}\geq 1+nh+n (n-1)h^{2}/2$